Nombres complexes et interprétation géométrique
Les nombres complexes occupent une place importante au Bac algérien, avec une double exigence : calcul algébrique rigoureux (forme algébrique, conjugué, module, argument) et interprétation géométrique (affixe, distance, angle, transformations).
Forme algébrique et conjugué
Tout complexe s'écrit z = a + ib avec a et b réels. Le conjugué est z̄ = a − ib et l'on a z + z̄ = 2a, z z̄ = a² + b² = |z|², d'où 1/z = z̄/|z|² pour z ≠ 0. Un quotient se rend réel en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Module, argument, forme exponentielle
Le module vaut |z| = √(a² + b²) et l'argument θ est l'angle orienté tel que cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|. On a |zz′| = |z||z′|, |z/z′| = |z|/|z′|, |z^n| = |z|^n, arg(zz′) = arg z + arg z′ modulo 2π, arg(z/z′) = arg z − arg z′ et arg(z̄) = −arg z. La forme trigonométrique z = r(cos θ + i sin θ) s'écrit aussi r e^(iθ) ; la formule de Moivre donne (cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ.
Interprétation géométrique
Le point M d'affixe z repère le complexe dans le plan. Le vecteur AB a pour affixe z(B) − z(A) ; la distance AB vaut |z(B) − z(A)| ; l'angle orienté (AB, AC) a pour mesure arg((z(C) − z(A))/(z(B) − z(A))). Une rotation de centre d'affixe ω et d'angle θ s'écrit z′ − ω = e^(iθ)(z − ω) ; une translation z′ = z + b.
Exemple rédigé
Soit z = 1 + i√3. Son module vaut √(1 + 3) = 2 et son argument π/3, donc z = 2 e^(iπ/3). Alors z^6 = 2^6 e^(i·6π/3) = 64 e^(i2π) = 64, résultat réel positif attendu.
Pièges qui coûtent des points
- Écrire arg z = arctan(b/a) sans tenir compte du quadrant.
- Oublier le modulo 2π dans les égalités d'arguments.
- Confondre |z|² et z².
- Résoudre z² = a (a < 0) en oubliant les deux solutions ±i√|a|.
- Placer un point sans vérifier l'affixe du vecteur.