Géométrie plane et dans l'espace, produit scalaire et produit vectoriel
La géométrie du Bac algérien associe géométrie plane et géométrie de l'espace, avec deux outils de calcul : le produit scalaire, disponible dans le plan et dans l'espace, et le produit vectoriel, propre à l'espace. L'épreuve demande de calculer distances et angles, d'établir orthogonalité ou alignement, et de déterminer équations de droites, de plans et de sphères.
Produit scalaire
Dans le plan comme dans l'espace, u·v = x x′ + y y′ (plus z z′ en dimension 3). On a aussi u·v = |u||v| cos θ et u·u = |u|². Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, et permet de calculer une norme ou un angle.
Déterminant dans le plan, produit vectoriel dans l'espace
Dans le plan, le déterminant de u(x, y) et v(x′, y′) vaut x y′ − y x′ ; sa valeur absolue mesure l'aire du parallélogramme et son signe donne l'orientation. Dans l'espace, le produit vectoriel u ∧ v est orthogonal à u et à v, de norme |u||v| sin θ, égale à l'aire du parallélogramme ; il est anticommutatif (v ∧ u = −u ∧ v) et nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
Droites, plans, sphères
Un plan a une équation ax + by + cz + d = 0 et le vecteur (a, b, c) est normal à ce plan. Une droite est donnée par un point et un vecteur directeur, souvent sous forme paramétrique. La distance d'un point M(x0, y0, z0) au plan vaut |a x0 + b y0 + c z0 + d| / √(a² + b² + c²). Une sphère de centre Ω et de rayon R a pour équation (x − xΩ)² + (y − yΩ)² + (z − zΩ)² = R².
Exemple rédigé
Soit A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0) et C(0 ; 0 ; 1). Le plan (ABC) a pour équation x + y + z = 1, car les trois points la vérifient et les coefficients ne sont pas tous nuls. La distance de l'origine O à ce plan vaut |0 + 0 + 0 − 1|/√3 = 1/√3 = √3/3.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre vecteur normal d'un plan et vecteur directeur d'une droite.
- Oublier de vérifier qu'un point appartient bien au plan ou à la droite trouvés.
- Écrire u ∧ v = v ∧ u.
- Utiliser un produit vectoriel nul pour conclure à l'orthogonalité.
- Se tromper de signe dans la formule de distance.