Probabilités et statistiques
Les probabilités et statistiques figurent à l'épreuve du Bac algérien avec un objectif concret : modéliser une expérience aléatoire, calculer des probabilités, puis décrire une variable aléatoire ou une série statistique. Les exercices s'appuient souvent sur des tirages dans une urne ou sur un contrôle de qualité.
Probabilités sur un univers fini
Si les issues sont équiprobables, la probabilité d'un événement est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles. On utilise P(Ā) = 1 − P(A), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), et l'égalité P(A ∪ B) = P(A) + P(B) seulement lorsque A et B sont incompatibles.
Probabilité conditionnelle et indépendance
Par définition, P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) pour P(B) ≠ 0. Un arbre pondéré traduit la situation et la formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement en le décomposant selon une partition. Deux événements sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; indépendance et incompatibilité sont deux notions distinctes.
Variables aléatoires et loi binomiale
Une variable aléatoire discrète est définie par sa loi, c'est-à-dire la liste des valeurs et de leurs probabilités. Son espérance est E(X) = Σ x(i) p(i) ; sa variance est V(X) = Σ x(i)² p(i) − (E(X))² et son écart-type σ = √V. Lorsque l'expérience consiste en n répétitions indépendantes d'une même épreuve de probabilité de succès p, X suit la loi binomiale de paramètres n et p : P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^(n − k), avec E(X) = np et V(X) = np(1 − p).
Exemple rédigé
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues ; on tire successivement deux boules sans remise. La probabilité d'obtenir deux rouges vaut (3/5) × (2/4) = 3/10. Le tirage étant sans remise, les deux tirages ne sont pas indépendants : c'est précisément pour cela que la seconde probabilité change.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre tirage avec et sans remise.
- Confondre indépendance et incompatibilité.
- Oublier de conditionner dans un arbre.
- Calculer V(X) avec la formule de l'espérance.
- Utiliser la loi binomiale sans vérifier l'indépendance et l'identité des épreuves.