Raisonnement, démonstration et résolution de problèmes transversaux
Ce domaine transversal n'a pas de contenu calculatoire propre : il évalue la capacité à structurer une démonstration, à choisir le bon schéma de raisonnement et à rédiger avec rigueur. Les autres domaines du programme en dépendent, car une question de synthèse est presque toujours une question de raisonnement.
Raisonnement par récurrence
Pour prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n0, on vérifie l'initialisation P(n0), puis on démontre l'hérédité : en supposant P(n) vraie pour un rang n ≥ n0, on prouve P(n+1). La conclusion rappelle explicitement le principe. Ce schéma sert à démontrer des inégalités, des formules de somme et des divisibilités.
Contraposée et raisonnement par l'absurde
L'implication A ⟹ B est équivalente à sa contraposée (non B ⟹ non A), souvent plus simple à établir. Le raisonnement par l'absurde suppose la négation de la conclusion et aboutit à une contradiction, comme dans la preuve classique de l'irrationalité de √2.
Disjonction de cas, contre-exemple, équivalences
Un raisonnement par disjonction de cas est légitime si les cas couvrent toutes les possibilités. Un contre-exemple suffit pour réfuter une proposition, mais jamais pour la démontrer. Une équivalence se prouve par double implication, et un énoncé d'existence et d'unicité se traite souvent par analyse-synthèse : on suppose l'objet existant pour trouver ses propriétés, puis on vérifie qu'il convient.
Exemple rédigé
Montrons que √2 est irrationnel. Supposons le contraire : √2 = p/q avec p, q entiers, q ≠ 0, la fraction étant irréductible. Alors p² = 2q², donc p² est pair, donc p est pair : p = 2k. Il vient 4k² = 2q², soit q² = 2k², donc q est pair. p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité : √2 n'est pas rationnel.
Pièges qui coûtent des points
- Oublier l'initialisation ou l'expliciter sans la vérifier réellement.
- Dans l'hérédité, ne pas utiliser l'hypothèse P(n).
- Confondre réciproque et contraposée.
- Prouver une proposition générale par un seul exemple.
- Conclure une analyse-synthèse sans la phase de vérification.