Palanca acodada: arco de R90 tangente a dos taladros y recta tangente exterior
Una empresa de Cantabria fabrica una palanca acodada en chapa de 6 mm. El plano de taller define dos taladros: Ø40 mm centrado en O1 y Ø24 mm centrado en O2, con O1O2 = 80 mm horizontal. El contorno inferior se resuelve con un arco de R90 tangente a ambas circunferencias y que las envuelve, mientras que el contorno superior es una recta tangente exterior común. El delineante ha trazado el arco de R90 con centros situados a 110 mm de O1 y a 102 mm de O2, y el resultado no cierra el contorno: el arco queda por fuera de las dos circunferencias y deja una lengüeta. Antes de enviar el plano a producción hay que corregir la construcción, situar los puntos de tangencia y resolver la recta superior, comprobando que no invade el taladro mayor. La chapa se corta con láser, por lo que cualquier error de tangencia se traduce en un vértice vivo y en un debilitamiento del útil.
1. Explica por qué falla la construcción del arco de R90 y determina los centros correctos, comprobando que la solución existe.
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El error está en el signo de la tangencia. El arco de R90 debe contener a las dos circunferencias (tangencia interior); en ese caso la distancia entre centros es R − r, no R + r:
- d(O, O1) = 90 − 20 = 70 mm
- d(O, O2) = 90 − 12 = 78 mm
Con 110 y 102 mm se obtiene un arco tangente exterior, que pasa por fuera de las ruedas y no cierra el contorno. Construcción correcta: arco de radio 70 con centro O1 y arco de radio 78 con centro O2; se cortan en dos puntos simétricos respecto de O1O2 y se toma el situado por debajo, que es el que envuelve la pieza. Comprobación de existencia: 70 + 78 > 80 y 78 − 70 < 80, luego hay solución. Los valores 110/102 no son un error de medida sino de criterio: confunden tangencia exterior (R + r) con interior (R − r).
2. Sitúa los puntos de tangencia del arco R90 y describe la construcción de la recta tangente exterior común a las dos circunferencias.
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Puntos de tangencia: están sobre la recta que une O con cada centro, pero en el punto exterior al segmento O–Oi. Es decir, T1 = O1 + 20·u1 y T2 = O2 + 12·u2, con ui el vector unitario de O a Oi. Así OT1 = 70 + 20 = 90 mm y OT2 = 78 + 12 = 90 mm, como exige el radio del arco.
Recta tangente exterior común (r1 = 20 > r2 = 12):
- Circunferencia auxiliar de centro O1 y radio 20 − 12 = 8 mm.
- Desde O2 se trazan las tangentes a esa circunferencia auxiliar; el ángulo de la tangente vale arcsen(8/80) = 5,74°.
- Si P es el punto de tangencia en la auxiliar, O1P es perpendicular a la tangente buscada. Se prolonga O1P hasta T1 con O1T1 = 20 mm y por T1 se traza la perpendicular a O1T1. El pie de la perpendicular desde O2 sobre esa recta es T2.
Se elige la tangente superior; la inferior es su simétrica y no interesa.
3. El operario propone subir la recta tangente superior 5 mm para dejar más material. ¿Es una decisión válida?
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No. La recta tangente exterior común es única para cada lado: su distancia a O1 es exactamente 20 mm y su distancia a O2 es 12 mm. Si se sube 5 mm, la distancia a O1 pasa a 25 mm (> 20), la recta deja de tocar la circunferencia grande y aparece un escalón o un vértice vivo en el contorno, justo lo que el corte láser amplifica como concentrador de tensiones. Si se quiere más material, hay que cambiar el diseño: aumentar el radio del arco envolvente, desplazar los centros de los taladros o añadir un acuerdo de radio pequeño entre la recta y el arco. En ningún caso se resuelve desplazando una tangente sin más.