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Cantabria PAU Technical Drawing II (Dibujo Técnico II) practice questions

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Question 1Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología plana, ¿qué recta contiene los puntos dobles de la transformación?

  1. La recta límite de la figura original
  2. La recta que une el centro con el punto impropio del eje
  3. La recta límite de la figura transformada
  4. El eje de la homología Correct answer.

Explanation

En una homología, los puntos situados sobre el eje son dobles, es decir, coinciden con su transformado. Por eso el eje es la recta de puntos dobles. Las rectas límite no contienen puntos dobles finitos, sino las imágenes de los puntos del infinito.

Question 2Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homotecia de centro O y razón k = −2, un punto A se transforma en A'. ¿Qué relación se cumple?

  1. A y A' están en lados opuestos de O y OA' = 2·OA Correct answer.
  2. A y A' están al mismo lado de O y OA' = 2·OA
  3. A y A' están en lados opuestos de O y OA' = OA/2
  4. A y A' coinciden porque la razón es negativa

Explanation

En una homotecia, el vector OA' es igual a k veces el vector OA. Si k es negativo, los vectores tienen sentidos opuestos, de modo que A y A' quedan en lados opuestos respecto de O, y el valor absoluto de k fija la proporción de distancias.

Question 3Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento AB bajo un ángulo de 90°?

  1. Las dos rectas paralelas a AB que distan AB/2 de ella
  2. La circunferencia con centro en el punto medio de AB y radio AB
  3. La circunferencia de diámetro AB, excluidos A y B Correct answer.
  4. La mediatriz del segmento AB

Explanation

Por el teorema del ángulo inscrito, un ángulo de 90° abarca una semicircunferencia, de modo que el vértice debe estar en la circunferencia de diámetro AB. Los extremos A y B se excluyen porque en ellos el ángulo degenera.

Question 4Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una elipse de semieje mayor a y semieje menor b, ¿cuánto vale la distancia entre sus focos?

  1. 2·√(a² + b²)
  2. 2·√(a² − b²) Correct answer.
  3. 2·(a − b)
  4. a² − b²

Explanation

La relación fundamental de la elipse es a² = b² + c², donde c es la semidistancia focal. Por tanto c = √(a² − b²) y la distancia entre los dos focos es 2c.

Question 5Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una parábola, ¿qué propiedad cumple cualquier punto P de la curva?

  1. La suma de sus distancias al foco y a la directriz es el parámetro
  2. Su distancia al foco es el doble de su distancia al vértice
  3. Su distancia a la directriz es constante e igual al parámetro
  4. Su distancia a la directriz es igual a su distancia al foco Correct answer.

Explanation

La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y de la directriz. Esa igualdad de distancias es la definición métrica de la curva.

Question 6Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Al aplicar una simetría axial a una circunferencia cuyo centro está sobre el eje de simetría, ¿qué se obtiene?

  1. Una circunferencia tangente a la original
  2. Una circunferencia desplazada a distancia igual al radio
  3. Una circunferencia de radio doble
  4. La misma circunferencia Correct answer.

Explanation

La simetría axial es una isometría que conserva las distancias y el radio. Si el centro está sobre el eje, es un punto doble y la imagen de la circunferencia coincide con ella misma.

Question 7Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

¿Qué nombre recibe la recta que, en una cónica, es límite hacia el que tienden las tangentes cuando el punto de contacto se aleja indefinidamente?

  1. Cuerda focal
  2. Eje focal
  3. Asíntota Correct answer.
  4. Directriz

Explanation

La asíntota es la recta tangente a la cónica en un punto impropio, es decir, la posición límite de la tangente cuando el punto de contacto tiende al infinito. La hipérbola posee dos asíntotas reales.

Question 8Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una tangencia entre dos circunferencias, ¿qué condición debe cumplirse para que el contacto sea interior?

  1. La distancia entre centros es igual a la suma de radios
  2. La distancia entre centros es mayor que la suma de radios
  3. La distancia entre centros es igual a la diferencia de radios Correct answer.
  4. La distancia entre centros es nula y los radios son distintos

Explanation

En la tangencia interior una circunferencia contiene a la otra y el punto de contacto está alineado con ambos centros, de modo que la distancia entre centros iguala la diferencia de los radios. En la tangencia exterior la distancia es la suma.

Question 9Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Dados un punto P y una recta r que no lo contiene, ¿cuántas circunferencias de radio conocido R pasan por P y son tangentes a r?

  1. Infinitas
  2. Dos, en general Correct answer.
  3. Una sola, siempre
  4. Ninguna, porque P no está en r

Explanation

El centro debe distar R de r y también R de P, por lo que se busca la intersección de una recta paralela a r a distancia R con la circunferencia de centro P y radio R. Esa intersección suele dar dos soluciones simétricas.

Question 10Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una hipérbola de ecuación x²/16 − y²/9 = 1, ¿cuáles son sus asíntotas?

  1. y = ±(3/4)x Correct answer.
  2. y = ±(9/16)x
  3. y = ±(16/9)x
  4. y = ±(4/3)x

Explanation

Para la hipérbola x²/a² − y²/b² = 1 las asíntotas son y = ±(b/a)x. Aquí a = 4 y b = 3, por lo que la pendiente es 3/4.

Question 11Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología de centro V, eje e y recta límite conocida, ¿cómo se obtiene la imagen A' de un punto A?

  1. Se traza por A una paralela al eje y se corta con la recta VA
  2. Se une A con el centro y se aplica la simetría respecto del eje
  3. Se traza la recta VA y se corta con la recta que une el punto de corte de la recta límite con la recta de A y el punto doble sobre el eje Correct answer.
  4. Se proyecta A desde el punto de fuga de la recta límite sobre el eje

Explanation

La recta VA contiene a la imagen A' por ser puntos homólogos alineados con el centro. El segundo lugar se obtiene usando la recta límite: la recta que pasa por A corta a la recta límite en un punto cuya imagen es el punto impropio, lo que permite trazar la recta imagen paralela por el punto doble del eje.

Question 12Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una afinidad de eje e y razón k, ¿qué propiedad es cierta respecto de las rectas paralelas al eje?

  1. No tienen imagen dentro de la afinidad
  2. Son rectas dobles, punto a punto Correct answer.
  3. Se transforman en rectas perpendiculares al eje
  4. Se transforman en rectas paralelas al eje pero desplazadas

Explanation

En la afinidad, toda recta paralela al eje está formada por puntos dobles, ya que cada punto se mantiene fijo cuando la dirección de desplazamiento es perpendicular al eje. Por eso la recta es doble punto a punto.

Question 13Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En el trazado de la elipse por el método de los haces proyectivos, ¿qué relación define la afinidad entre la circunferencia y la elipse?

  1. La elipse es afín a la circunferencia de diámetro el eje mayor, con razón b/a Correct answer.
  2. La elipse es una inversión de la circunferencia respecto de su centro
  3. La elipse es una simetría axial de la circunferencia respecto del eje menor
  4. La elipse es homotética a la circunferencia de diámetro el eje mayor

Explanation

La elipse se obtiene aplicando a la circunferencia de diámetro el eje mayor una afinidad cuyo eje es precisamente ese diámetro y cuya razón es la relación entre semiejes b/a. Esto permite trasladar puntos de la circunferencia a la elipse mediante paralelas al eje menor.

Question 14Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan?

  1. La mediatriz del segmento entre los puntos de corte
  2. Las dos bisectrices de las rectas Correct answer.
  3. La circunferencia inscrita en el ángulo
  4. Las rectas paralelas a cada una de las dadas

Explanation

Una circunferencia tangente a dos rectas concurrentes tiene su centro a igual distancia de ambas, y el lugar de los puntos equidistantes de dos rectas son sus bisectrices. Por eso hay dos familias de soluciones, una por cada bisectriz.

Question 15Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una parábola de vértice V, eje horizontal y foco F, se traza la tangente en un punto P. ¿Qué propiedad cumple esa tangente?

  1. Pasa siempre por el vértice V
  2. Es perpendicular al radio vector PF
  3. Biseca el ángulo formado por el radio vector PF y la paralela al eje por P Correct answer.
  4. Es paralela a la directriz

Explanation

La tangente a la parábola en P es la bisectriz del ángulo entre el radio vector PF y la recta paralela al eje que pasa por P. Esta propiedad óptica explica la reflexión de rayos paralelos al eje hacia el foco.

Question 16Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología, ¿qué ocurre cuando el centro V se sitúa en el infinito en dirección perpendicular al eje?

  1. La homología se convierte en una homotecia de razón 1
  2. La homología no está definida
  3. La homología degenera en una simetría axial respecto del eje Correct answer.
  4. La homología se convierte en una traslación

Explanation

Si el centro está en el infinito, las rectas que unen puntos homólogos son paralelas entre sí. Cuando esa dirección es perpendicular al eje, la transformación conserva las distancias y equivale a una simetría axial.

Question 17Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Dada una circunferencia de centro O y un punto exterior P, se quiere trazar la tangente desde P. ¿Qué construcción es correcta?

  1. Trazar la mediatriz de OP y unir P con su punto medio
  2. Trazar la circunferencia de diámetro OP y unir P con los puntos de corte con la circunferencia dada Correct answer.
  3. Trazar la circunferencia de centro P y radio OP y unir P con sus cortes con la recta OP
  4. Trazar por P una paralela al radio OQ para cualquier Q de la circunferencia

Explanation

Los puntos de tangencia T cumplen que el ángulo OTP es recto, luego T pertenece a la circunferencia de diámetro OP. Al cortarla con la circunferencia dada se obtienen los dos puntos de tangencia, que unidos con P dan las tangentes.

Question 18Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una elipse, ¿cómo se traza la tangente en un punto P usando la propiedad de los focos?

  1. La tangente es la bisectriz exterior del ángulo FPF' Correct answer.
  2. La tangente es la bisectriz interior del ángulo FPF'
  3. La tangente pasa por el punto de intersección de PF y PF'
  4. La tangente es perpendicular a la recta que une P con el punto medio de FF'

Explanation

En la elipse, la normal en P es la bisectriz interior del ángulo formado por los radios vectores PF y PF'. Por tanto, la tangente, perpendicular a la normal, es la bisectriz exterior de ese ángulo.

Question 19Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología plana se conocen el centro V, el eje e y un par de puntos homólogos A y A'. ¿Cómo se determina la recta límite de la figura original?

  1. Se traza por A una paralela al eje y se une con A'
  2. Trazando por V una paralela a la recta AA' y hallando su intersección con el eje no; se obtiene la recta límite como paralela al eje por el punto donde la recta AA' corta a la paralela al eje por V Correct answer.
  3. Se une V con el punto impropio del eje y se traza la perpendicular por A
  4. Se traza por V una paralela al eje y se une con A'

Explanation

La recta límite de la figura original es el lugar de los puntos cuya imagen cae en el infinito. Se obtiene trazando por V la paralela a la recta que une un punto con su homólogo, y trasladando la dirección al eje mediante una paralela; el punto de corte con el eje define la recta límite paralela al eje.

Question 20Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una circunferencia de radio R, se inscribe un triángulo equilátero. ¿Qué relación hay entre el radio y la altura del triángulo?

  1. La altura mide R√3
  2. La altura mide R/2
  3. La altura mide 2R/3
  4. La altura mide 3R/2 Correct answer.

Explanation

En un triángulo equilátero inscrito, el radio de la circunferencia circunscrita es 2/3 de la altura, ya que el baricentro coincide con el circuncentro. Despejando, la altura es 3R/2.

Question 21Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología, ¿qué condición deben cumplir dos rectas homólogas r y r'?

  1. Son siempre paralelas entre sí
  2. Se cortan en el centro de la homología
  3. Son perpendiculares entre sí
  4. Sus puntos de corte con el eje coinciden Correct answer.

Explanation

Como los puntos del eje son dobles, el punto donde r corta al eje coincide con el punto donde r' corta al eje. Esa intersección común sobre el eje es la traza de ambas rectas homólogas.

Question 22Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una hipérbola, ¿qué relación existe entre la circunferencia principal y las asíntotas?

  1. La circunferencia principal es exterior a las asíntotas y no las corta
  2. La circunferencia principal tiene centro en el centro de la hipérbola y radio a, y corta a las asíntotas en puntos cuya ordenada es b Correct answer.
  3. La circunferencia principal es tangente a las asíntotas en los vértices
  4. La circunferencia principal tiene radio c y pasa por los focos

Explanation

La circunferencia principal de la hipérbola tiene centro en el centro de la curva y radio igual al semieje real a. Al cortarla con las asíntotas y = ±(b/a)x se obtienen puntos de abscisa ±a y ordenada ±b, que permiten construir el rectángulo fundamental.

Question 23Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Al trazar la recta tangente a una parábola paralela a una dirección dada d, ¿qué propiedad permite localizar el punto de tangencia?

  1. La tangente paralela a d es perpendicular a la directriz
  2. La tangente paralela a d pasa siempre por el foco
  3. La tangente paralela a d corta a la directriz en el vértice
  4. La tangente paralela a d toca a la parábola en el punto cuya tangente es la bisectriz del ángulo entre el radio vector y la paralela al eje, lo que se resuelve con la polar del punto impropio de d Correct answer.

Explanation

La dirección de la tangente en un punto de la parábola queda determinada por la propiedad de la bisectriz entre el radio vector y la paralela al eje. Para una dirección dada d, se usa la polar del punto impropio de d, que corta a la parábola en el punto de contacto buscado.

Question 24Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología que transforma una circunferencia en una elipse, ¿qué condición garantiza que la cónica imagen sea una elipse y no una hipérbola?

  1. Que la recta límite sea tangente a la circunferencia
  2. Que el eje sea exterior a la circunferencia
  3. Que la recta límite de la figura original no corte a la circunferencia Correct answer.
  4. Que el centro esté dentro de la circunferencia

Explanation

Una homología transforma una circunferencia en una cónica cuyo tipo depende de la posición relativa de la recta límite respecto de la circunferencia. Si la recta límite no la corta, la cónica imagen es una elipse; si es tangente, una parábola; si la corta, una hipérbola.

Question 25Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En el método general de tangencias de Apolonio, se busca una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas. ¿Qué estrategia reduce el problema a un caso más simple?

  1. Trazar las mediatrices de los centros y aplicar simetría axial
  2. Sustituir una circunferencia por un punto o una recta mediante traslaciones y homotecias auxiliares Correct answer.
  3. Proyectar las tres circunferencias sobre un plano paralelo
  4. Invertir respecto de cada centro de homotecia de las tres circunferencias

Explanation

El problema de Apolonio se resuelve reduciendo el número de datos mediante homotecias y traslaciones auxiliares: una circunferencia puede sustituirse por su centro o por una recta paralela a distancia igual al radio. Así se llega a casos resolubles con tangencias entre rectas y puntos.

Question 26Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En el trazado de un óvalo isósceles de eje mayor AB dado, ¿qué construcción se emplea para localizar los centros de los arcos menores?

  1. Se dibuja un triángulo equilátero sobre AB y sus vértices son directamente los cuatro centros.
  2. Se traza la mediatriz de AB, se toma sobre ella la mitad del eje mayor como semieje menor y se unen los extremos con los centros obtenidos por paralelas. Correct answer.
  3. Se divide AB en cuatro partes iguales y se trazan arcos con centros en los extremos con radio igual a un cuarto de AB.
  4. Se aplica una homotecia de razón 1/2 respecto del punto medio de AB para obtener todos los centros.

Explanation

El óvalo isósceles se construye fijando el eje mayor AB, hallando su mediatriz y situando sobre ella el semieje menor. A partir de los extremos del eje menor se trazan rectas que, cortadas con el eje mayor, determinan los dos centros de los arcos mayores y los dos de los arcos menores; los arcos deben empalmar con tangencia en los puntos de unión.

Question 27Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una elipse definida por sus ejes, ¿qué relación cumplen los semiejes a, b y la semidistancia focal c?

  1. a² = b² + c² Correct answer.
  2. a = b + c
  3. b² = a² + c²
  4. c² = a² + b²

Explanation

En la elipse el semieje mayor a es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por el semieje menor b y la semidistancia focal c. Por tanto a² = b² + c², de modo que los focos quedan siempre dentro del eje mayor y c < a.

Question 28Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento AB bajo un ángulo recto?

  1. La recta perpendicular a AB por A
  2. La elipse de focos A y B
  3. La mediatriz de AB
  4. La circunferencia de diámetro AB Correct answer.

Explanation

Por el teorema del ángulo inscrito, todo punto de la circunferencia de diámetro AB ve el segmento bajo 90°, ya que el ángulo inscrito que abarca un diámetro es recto. Recíprocamente, cualquier punto desde el que AB se vea bajo 90° pertenece a esa circunferencia.

Question 29Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una parábola, ¿qué nombre recibe la recta perpendicular al eje que pasa por el punto medio entre vértice y foco?

  1. Directriz
  2. Eje secundario
  3. Cuerda focal
  4. Tangente en el vértice Correct answer.

Explanation

La tangente en el vértice es perpendicular al eje y pasa por el punto medio del segmento que une el vértice con el foco. La directriz, en cambio, es paralela a ella pero está al otro lado del vértice, a la misma distancia que el foco.

Question 30Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Al aplicar una traslación de vector v a una circunferencia, ¿qué se obtiene?

  1. Una circunferencia de radio distinto según el módulo de v
  2. Una circunferencia del mismo radio cuyo centro es el trasladado del original Correct answer.
  3. La misma circunferencia, pues la traslación solo afecta a rectas
  4. Una elipse con el eje mayor en la dirección de v

Explanation

La traslación es una isometría directa: conserva distancias y ángulos. Por ello transforma una circunferencia en otra de igual radio, y el centro imagen es simplemente el trasladado del centro original según el vector v.

Question 31Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una tangencia entre una recta y una circunferencia, ¿qué relación hay entre el radio trazado al punto de tangencia y la recta?

  1. Forman un ángulo igual al de la recta con la horizontal
  2. Forman un ángulo de 45°
  3. Son perpendiculares Correct answer.
  4. Son paralelos

Explanation

El radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Esta condición de perpendicularidad es la base de casi todas las construcciones de tangencias con rectas.

Question 32Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

¿Qué transformación convierte una circunferencia en una elipse conservando las direcciones de una familia de rectas paralelas?

  1. Un giro de 90°
  2. Una afinidad Correct answer.
  3. Una homotecia
  4. Una simetría central

Explanation

La afinidad es una transformación que conserva el paralelismo y las direcciones de las rectas paralelas al eje, pero modifica las distancias en la dirección perpendicular según la razón k. Aplicada a una circunferencia produce una elipse cuyos ejes coinciden con el eje de afinidad y su perpendicular.

Question 33Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una hipérbola equilátera, ¿qué particularidad presentan sus asíntotas?

  1. Coinciden con el eje real
  2. Forman entre sí el mismo ángulo que los ejes de la cónica
  3. Son paralelas al eje imaginario
  4. Son perpendiculares entre sí Correct answer.

Explanation

En la hipérbola equilátera los semiejes real e imaginario son iguales, a = b. Como las asíntotas tienen pendiente ±b/a, resulta ±1, de modo que son perpendiculares entre sí y forman 45° con los ejes.

Question 34Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Dados dos puntos A y B y una recta r, se busca el punto de r desde el que el segmento AB se ve bajo un ángulo dado. ¿Qué construcción resuelve el problema?

  1. Trazar la circunferencia de centro A que pasa por B y cortarla con r
  2. Trazar la mediatriz de AB y cortarla con r
  3. Unir A y B con el punto medio de r
  4. Dibujar el arco capaz del ángulo dado sobre AB y cortarlo con r Correct answer.

Explanation

El arco capaz del ángulo dado sobre el segmento AB es el lugar geométrico de los puntos que ven AB bajo ese ángulo. Los puntos de intersección de ese arco con la recta r son las soluciones, pudiendo haber dos, una o ninguna según la posición.

Question 35Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Se quiere trazar una recta tangente a una elipse en un punto P de la curva, conociendo sus focos F y F'. ¿Qué construcción es correcta?

  1. Trazar la bisectriz del ángulo FPF' y tomar su perpendicular en P Correct answer.
  2. Trazar por P una paralela al eje mayor
  3. Unir P con el centro de la elipse y prolongar
  4. Trazar la bisectriz exterior del ángulo FPF'

Explanation

La tangente a la elipse en P es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores PF y PF'. Equivalentemente, es perpendicular a la bisectriz interior de ese ángulo, por lo que trazando la bisectriz interior y su perpendicular en P se obtiene la tangente.

Question 36Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología plana se conocen el centro V, el eje e y la recta límite l. ¿Cómo se obtiene la imagen de un punto impropio en dirección d?

  1. Se traza por V una paralela a d y se corta con el eje
  2. Se traza por V una recta en dirección d y su intersección con la recta límite da la imagen Correct answer.
  3. Se une el punto impropio con el eje y se aplica la razón de homología
  4. La imagen de un punto impropio es siempre el centro V

Explanation

En una homología, la recta límite es el lugar de las imágenes de los puntos impropios del plano. Por ello, para un punto impropio en dirección d se traza por el centro V una recta de dirección d y se corta con la recta límite, obteniendo su imagen.

Question 37Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Al construir un óvalo inscrito en un rombo dado, ¿qué elemento del rombo determina los centros de los arcos mayores?

  1. El punto medio de cada lado
  2. Los vértices del ángulo agudo Correct answer.
  3. La intersección de las diagonales únicamente
  4. Los vértices del ángulo obtuso

Explanation

En el óvalo inscrito en un rombo, los centros de los arcos mayores se sitúan en los vértices de los ángulos agudos, mientras que los arcos menores tienen centros en los vértices de los ángulos obtusos. Los puntos de tangencia se localizan sobre los lados del rombo.

Question 38Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Dada una circunferencia de centro O y dos puntos exteriores A y B, se busca la circunferencia tangente a la dada que pase por A y B. ¿Qué paso inicial simplifica el problema?

  1. Trazar la tangente desde A a la circunferencia dada
  2. Aplicar una homotecia de centro A que transforme la circunferencia dada en otra que pase por B
  3. Trazar la mediatriz de AB y buscar en ella el centro de la solución Correct answer.
  4. Sustituir el punto B por su simétrico respecto de O

Explanation

El centro de cualquier circunferencia que pasa por A y B equidista de ambos, luego está en la mediatriz de AB. Imponiendo además la condición de tangencia con la circunferencia dada (distancia entre centros igual a la suma o diferencia de radios) se localiza el centro solución sobre esa mediatriz.

Question 39Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una parábola, un punto P dista 5 cm de la directriz. ¿Cuánto dista P del foco?

  1. 2,5 cm
  2. 5 cm Correct answer.
  3. Depende de la posición de P sobre la curva
  4. 10 cm

Explanation

La definición métrica de la parábola establece que todo punto de la curva equidista del foco y de la directriz. Por tanto, si la distancia a la directriz es 5 cm, la distancia al foco es también 5 cm, con independencia de dónde esté P.

Question 40Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología, dos rectas homólogas r y r' se cortan en un punto M. ¿Qué propiedad cumple M?

  1. M pertenece al eje de homología Correct answer.
  2. M es el punto medio del segmento que une los puntos homólogos
  3. M pertenece a la recta límite
  4. M coincide siempre con el centro V

Explanation

En una homología, las rectas homólogas se cortan en puntos del eje, que son puntos dobles. Por ello la intersección M de r y r' debe estar sobre el eje e, lo que permite determinar r' conociendo r y un par de puntos homólogos.

Question 41Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una afinidad de eje e y razón k = 2, un punto A dista 3 cm del eje. ¿A qué distancia se encuentra su imagen A'?

  1. 6 cm, en el lado opuesto a A
  2. 3 cm, pues la afinidad conserva las distancias al eje
  3. 6 cm, en el mismo lado que A Correct answer.
  4. 1,5 cm, en el mismo lado que A

Explanation

En la afinidad, la distancia de la imagen al eje es igual a la distancia del punto multiplicada por la razón k, y ambos puntos se sitúan en el mismo semiplano respecto del eje. Con k = 2 y distancia 3 cm, resulta 6 cm.

Question 42Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Se traza una circunferencia que pasa por el punto de tangencia de dos rectas concurrentes y es tangente a ambas. ¿Dónde se encuentra su centro?

  1. En la bisectriz del ángulo que forman las rectas Correct answer.
  2. En una paralela a una de las rectas
  3. En la perpendicular a una recta por el punto de tangencia
  4. En la intersección de las dos rectas

Explanation

El centro de toda circunferencia tangente a dos rectas concurrentes equidista de ambas, por lo que debe estar en una de las bisectrices del ángulo que forman. La elección de la bisectriz (interior o exterior) depende de la región donde se sitúe la circunferencia.

Question 43Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una elipse, ¿qué relación hay entre la circunferencia principal y la circunferencia focal?

  1. Son concéntricas y de igual radio
  2. La circunferencia focal tiene radio b y centro en el punto medio de los focos
  3. Ambas tienen centro en un foco y radios a y b respectivamente
  4. La circunferencia principal tiene centro en el punto medio de los focos y radio a; la focal tiene centro en un foco y radio 2a Correct answer.

Explanation

La circunferencia principal tiene centro en el centro de la elipse y radio igual al semieje mayor a. La circunferencia focal, en cambio, tiene centro en uno de los focos y radio 2a, de modo que las tangentes desde un foco a la focal determinan las tangentes a la elipse.

Question 44Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Al aplicar una simetría axial a una parábola cuyo eje es perpendicular al eje de simetría, ¿qué se obtiene?

  1. Una parábola con eje perpendicular al original y mismo vértice
  2. Una recta tangente a la parábola original
  3. Una elipse
  4. Otra parábola con el mismo eje Correct answer.

Explanation

La simetría axial es una isometría que conserva la forma de la cónica. Si el eje de simetría es perpendicular al eje de la parábola, la imagen es otra parábola con el mismo eje, simétrica respecto de la recta de simetría, y su vértice es el simétrico del original.

Question 45Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una hipérbola, ¿qué propiedad geométrica define la circunferencia principal respecto de las asíntotas?

  1. Su radio es igual a la semidistancia focal c
  2. Tiene centro en el centro de la hipérbola y radio a; las asíntotas la cortan en puntos que permiten trazar las tangentes Correct answer.
  3. Es tangente a las asíntotas en los vértices
  4. Pasa por los focos y es perpendicular a las asíntotas

Explanation

La circunferencia principal de la hipérbola tiene centro en el centro de la cónica y radio igual al semieje real a. Las asíntotas la cortan en puntos desde los que se trazan tangentes a la hipérbola, lo que permite construir las asíntotas conociendo los vértices.

Question 46Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

Se quiere trazar una recta tangente a una parábola paralela a una dirección dada d, sin conocer el punto de contacto. ¿Qué propiedad permite localizarlo?

  1. La tangente pasa siempre por el vértice
  2. La tangente en un punto P es la bisectriz del ángulo formado por el radio vector PF y la paralela al eje por P Correct answer.
  3. La tangente es perpendicular a la directriz
  4. La tangente es paralela al eje de la parábola

Explanation

La tangente en P es la bisectriz del ángulo que forman el radio vector PF y la recta paralela al eje trazada por P. Imponiendo que esa bisectriz tenga la dirección d se determina el punto P de contacto y, con él, la tangente pedida.

Question 47Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En el método general de tangencias de Apolonio se busca una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas. ¿Qué recurso permite reducir el problema a un caso más sencillo?

  1. Sustituir cada circunferencia por su centro
  2. Aplicar una homotecia de centro el punto de tangencia desconocido
  3. Trazar las mediatrices de los centros de las tres circunferencias
  4. Aumentar o disminuir los radios de las circunferencias dadas en una cantidad común para convertir la tangencia en paso por un punto Correct answer.

Explanation

El método de Apolonio reduce el problema de tangencia a tres circunferencias al de tangencia a dos y paso por un punto. Para ello se aumentan o disminuyen los radios en una cantidad común igual al radio de la circunferencia solución auxiliar, transformando las tangencias exteriores o interiores en condiciones de paso por un punto.

Question 48Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una elipse, se traza la tangente en un punto P y se une P con los focos. ¿Qué propiedad óptica se cumple?

  1. Los radios vectores son perpendiculares entre sí
  2. La tangente es paralela a la recta que une los focos
  3. La tangente pasa por el punto medio del segmento FF'
  4. Los radios vectores PF y PF' forman ángulos iguales con la tangente Correct answer.

Explanation

La tangente a la elipse en P forma ángulos iguales con los dos radios vectores PF y PF'. Esta propiedad óptica explica que un rayo que parta de un foco y se refleje en la elipse pase por el otro foco, y es la base para trazar la tangente y la normal.

Question 49Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una afinidad de eje e y razón k, se transforma una circunferencia en una elipse. ¿Qué rectas de la elipse imagen son homólogas de los diámetros de la circunferencia perpendiculares al eje?

  1. Las asíntotas de la elipse
  2. Los ejes de la elipse Correct answer.
  3. Las cuerdas focales
  4. Las tangentes en los vértices

Explanation

En la afinidad, los diámetros de la circunferencia perpendiculares al eje se transforman en los ejes de la elipse imagen. El diámetro paralelo al eje se conserva como eje mayor o menor, y el perpendicular se alarga o acorta según la razón k, generando el otro eje.

Question 50Plane geometry: geometric constructions, loci, conic sections, tangencies and transformations

En una homología, se conocen el centro V, el eje e y un par de puntos homólogos A y A'. ¿Cómo se determina la recta límite?

  1. Trazando por V una paralela al eje y cortándola con AA'
  2. Trazando por A una paralela al eje hasta cortar la recta VA' y, desde ese punto, una paralela a AA' hasta el eje Correct answer.
  3. Trazando por A una paralela a AA' y cortándola con el eje
  4. Uniendo A con el punto medio del segmento VV'

Explanation

Para hallar la recta límite se traza por A una paralela al eje hasta cortar la recta VA'; el punto obtenido se une con A' mediante una paralela a AA' que corta al eje en un punto. La recta límite pasa por ese punto y es paralela al eje.