Faldón de marquesina: verdadera magnitud, pendiente y altura sobre un punto
En el proyecto de una marquesina se define un faldón plano mediante tres puntos medidos en milímetros sobre un sistema diédrico: A(0, 0, 0), B(70, 0, 20) y C(0, 45, 15). El faldón apoya en un muro vertical y debe recibir una claraboya circular cuyo plano coincide con el del faldón. El proyectista duda entre abatir el plano o aplicar dos cambios de plano, porque ninguno de los lados AB y AC es horizontal y el triángulo no se ve en verdadera magnitud en ninguna de las dos proyecciones. Además necesita conocer la pendiente real de la cubierta para justificar el drenaje y comprobar la altura libre sobre un punto interior P(35, 20, 0). Se pide ordenar el proceso, justificar el método elegido y dar resultados numéricos coherentes, teniendo en cuenta que una pendiente mal calculada obliga a rehacer la estructura de apoyo.
1. Obtén la verdadera magnitud del triángulo ABC y justifica el método empleado frente al abatimiento directo.
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Ni AB ni AC son horizontales (cotas 20 y 15 mm), de modo que no existe una charnela horizontal natural y el abatimiento exige calcular previamente la traza. Es más ordenado el doble cambio de plano:
- Hallar una horizontal del plano: el punto de AB con cota 15 mm es M = A + (15/20)(B − A) = (52,5, 0, 15). La recta CM es horizontal, con dirección (52,5, −45, 0).
- Primer cambio: nuevo plano vertical perpendicular a CM. En esa proyección el plano ABC se ve de canto, como una recta.
- Segundo cambio: nuevo plano paralelo al plano ABC. La proyección resultante es la verdadera magnitud.
Comprobación analítica: AB × AC = (−900, −1050, 3150); |AB × AC| = 3439,6, luego el área es 1719,8 mm². El triángulo es escaleno y su lado mayor es BC = √(70² + 45² + 5²) = 83,4 mm.
2. Calcula la pendiente real del faldón respecto del plano horizontal e indica cómo se lee en la vista de canto.
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En la vista de canto (primer cambio de plano) la pendiente es el ángulo entre la recta de canto y la nueva línea de tierra horizontal; no hace falta ninguna construcción adicional. Analíticamente, el vector normal es n = (−900, −1050, 3150) y |n| = 3439,6. El ángulo entre n y la vertical vale arccos(3150/3439,6) = 23,66°. Como el ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus normales, el faldón tiene 23,66° de pendiente, equivalente a tan 23,66° = 0,438, es decir un 43,8 %. Es una pendiente holgada para evacuación de agua; el problema no es el drenaje sino la altura libre, que hay que comprobar con la ecuación del plano.
3. Determina a qué altura pasa el faldón sobre el punto P(35, 20, 0) y qué implica el resultado.
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Ecuación del plano por A(0, 0, 0): −900x − 1050y + 3150z = 0, es decir z = 0,2857x + 0,3333y. En P(35, 20, 0): z = 0,2857·35 + 0,3333·20 = 10,00 + 6,67 = 16,67 mm. El faldón pasa 16,67 mm por encima de P, valor que se mide directamente en el alzado como cota del punto de intersección de la vertical por P con el plano. Comprobación: A, B y C satisfacen la ecuación (0; 20 y 15 respectivamente), luego la ecuación es correcta y sirve para cualquier otro punto interior sin repetir cambios de plano.