Pantalla troncocónica: clasificación de la sección, verdadera magnitud y desarrollo
Un taller de cerámica técnica debe fabricar una pantalla troncocónica de chapa. El cuerpo de revolución tiene radio de base 50 mm y altura 75 mm, y se corta con un plano que es perpendicular al plano vertical de proyección, forma 30° con el plano horizontal y pasa por el punto del eje situado a 40 mm de la base. La sección obtenida será el borde superior de la pantalla y debe reproducirse en verdadera magnitud para cortar la plantilla. El operario que ha recibido el encargo afirma que la sección es una parábola porque el plano está inclinado, y otro compañero sostiene que es una elipse. Antes de cortar la chapa hay que decidir quién tiene razón, comprobar que la sección no llega a la base, obtener la plantilla del desarrollo lateral y situar sobre ella la curva del borde. Un error de clasificación invalida todo el desarrollo.
1. Clasifica la sección cónica y justifica la respuesta comparando ángulos; comprueba además que la elipse es completa.
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Semiángulo del cono: tan α = 50/75 → α = 33,69° respecto del eje, luego la generatriz forma 56,31° con la base. Regla de clasificación según la inclinación θ del plano respecto de la base:
- θ = 0°: circunferencia;
- 0 < θ < 56,31°: elipse (el plano corta todas las generatrices);
- θ = 56,31°: parábola (plano paralelo a una generatriz);
- θ > 56,31°: hipérbola.
Aquí θ = 30° < 56,31°, luego la sección es una elipse y tiene razón el segundo compañero; la inclinación, por sí sola, no hace una parábola. Comprobación de que la elipse es completa: el plano es z = 40 + 0,5774x y la superficie r = 50 − 0,6667z; resolviendo, los puntos extremos están a z = 49,7 mm y z = 18,1 mm, ambos dentro del intervalo 0–75 mm, así que la sección no alcanza la base.
2. Describe la construcción de la verdadera magnitud de la sección y da los ejes aproximados de la elipse.
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El plano es proyectante vertical, por lo que en el alzado la sección se ve como un segmento (de canto). Método: cambio de plano vertical paralelo al plano de corte, o abatimiento sobre el horizontal.
- En el alzado se divide la sección en generatrices (12 o 16 van bien) y se numeran.
- Para cada generatriz se mide la distancia del punto al eje en el alzado y se traslada en la nueva proyección a partir de la línea de tierra, sobre la perpendicular correspondiente.
- Los extremos del eje mayor son los puntos de la sección sobre las generatrices de contorno: longitud ≈ 63,3 mm. El eje menor se traza perpendicular por el punto medio y mide ≈ 50,6 mm (cuerda del cono en ese punto). Con esos dos ejes se dibuja la elipse, que es la plantilla del borde superior. No se debe tomar como eje mayor la cuerda horizontal del alzado: esa cuerda no es un diámetro de la elipse.
3. Obtén el desarrollo del lateral del cono y explica cómo se traslada la curva de la sección al desarrollo.
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Desarrollo lateral: L = √(50² + 75²) = 90,14 mm; ángulo del sector = 360°·50/90,14 = 199,7°. Se dibuja el sector con ese ángulo y se reparten las generatrices cada 199,7/12 = 16,6°. Sobre cada generatriz se lleva la distancia desde el vértice hasta el punto de la sección, medida en verdadera magnitud en la vista de canto (no en el alzado original, donde está proyectada). La curva que une esos puntos es la traza del corte y delimita la plantilla. El círculo de la base no se desarrolla porque la sección no lo alcanza: la pantalla es un tronco de cono abierto por arriba y cerrado por la base, no un cono completo.