Geometría plana: construcciones, lugares geométricos, cónicas, tangencias y transformaciones
La geometría plana reúne los trazados con regla y compás sobre los que se apoya el resto del dibujo: construcciones fundamentales, lugares geométricos, cónicas, tangencias y transformaciones. En la PAU de Cantabria se plantea como un ejercicio de trazado directo con instrumentos, donde se valora el resultado, pero también la construcción auxiliar visible, la nomenclatura de los puntos y la precisión del trazo.
Construcciones y lugares geométricos
- Mediatriz y bisectriz: los dos lugares básicos; de ellos salen casi todas las tangencias y los centros de circunferencias.
- Teorema de Tales: divisiones proporcionales, segmento en n partes iguales y figuras semejantes.
- Polígonos regulares: el método general divide el diámetro vertical en n partes y lleva el lado a la circunferencia con un arco auxiliar; pentágono, hexágono y octógono tienen construcciones específicas más rápidas y exactas.
- Arco capaz de un ángulo α sobre el segmento AB: puntos que ven AB bajo α. El de 90° es la circunferencia de diámetro AB y es la clave de las tangentes trazadas desde un punto exterior.
- Lugares geométricos: rectas paralelas a distancia dada, circunferencias concéntricas, arco capaz y las tres cónicas definidas como lugares.
Cónicas y tangencias
En la elipse PF + PF′ = 2a, siendo 2a el eje mayor, y la tangente en un punto es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores. En la parábola PF = d(P, directriz) y la tangente es la bisectriz entre el radio vector y la paralela al eje. En la hipérbola |PF − PF′| = 2a y las asíntotas pasan por el centro.
Toda tangencia se resuelve con suma o resta de radios, homotecia, potencia, eje radical y centro radical; el punto de tangencia está siempre alineado con los centros o sobre la perpendicular a la recta.
Ejemplo resuelto
Circunferencia de radio R tangente a una recta r y a una circunferencia c(O, r′). El centro debe estar a distancia R de r, luego sobre una paralela r′ a esa distancia (dos paralelas, una por cada lado). También debe estar a distancia r′ + R si la tangencia es exterior, o |r′ − R| si es interior, luego sobre circunferencias concéntricas en O con esos radios. Las intersecciones de las paralelas con las concéntricas dan hasta cuatro centros. Los puntos de tangencia se obtienen con la perpendicular desde el centro a r y con la recta que une el centro con O.
Errores que cuestan puntos
- No señalar ni nombrar los puntos de tangencia: la tangencia queda sin justificar.
- Resolver una sola solución cuando el enunciado no las restringe.
- Confundir la suma de radios (tangencia exterior) con la diferencia (interior).
- En cónicas, confundir 2a con la distancia focal 2c, o trazar la curva sin comprobar la simetría respecto de los ejes.