Identificar el metal de una pieza: densidad, cifras significativas e incertidumbre
En el laboratorio del instituto, un grupo de alumnos de Ciencias Generales debe identificar el metal de una pieza cilíndrica encontrada en el taller. Disponen de una balanza digital con resolución de 0,01 g y de una probeta de 10 mL con divisiones cada 0,2 mL. Pesan la pieza tres veces y obtienen 54,18 g, 54,22 g y 54,20 g. Para medir el volumen añaden agua hasta la marca de 20,0 mL, introducen la pieza con cuidado y leen 26,0 mL. El profesor les pide comparar el resultado con la tabla de densidades: aluminio 2,70; hierro 7,87; cobre 8,96; plomo 11,34 g/cm³. Un compañero propone repetir el volumen con una bureta de 0,05 mL en lugar de la probeta; otro sugiere buscar en el taller una pieza mayor del mismo material. La memoria debe incluir la incertidumbre de la medida y una conclusión defendible, no solo el valor numérico obtenido.
1. Calcula la densidad con las cifras significativas correctas y estima su incertidumbre absoluta, indicando qué medida limita la precisión del resultado.
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Masa: la media de las tres pesadas es 54,20 g; la dispersión (±0,02 g) es del orden de la resolución de la balanza, así que tomamos Δm = 0,01 g.
Volumen: V = 26,0 − 20,0 = 6,0 mL. Cada lectura de la probeta tiene un error de media división, ±0,1 mL; al restar dos lecturas los errores se combinan: ΔV = √(0,1² + 0,1²) ≈ 0,14 mL, que redondeamos a 0,2 mL.
Densidad: ρ = 54,20/6,0 = 9,03 g/cm³.
Incertidumbre relativa: Δm/m = 0,01/54,20 = 0,02 %; ΔV/V = 0,2/6,0 = 3,3 %. El volumen aporta unas 150 veces más incertidumbre, así que es el factor limitante y la masa se puede considerar exacta a efectos prácticos.
Δρ = 9,03 × 0,033 ≈ 0,30 g/cm³.
Resultado: ρ = (9,0 ± 0,3) g/cm³. La incertidumbre se expresa con una sola cifra significativa, y el valor se redondea al mismo orden (décimas). Escribir 9,03 ± 0,30 o 9,033 g/cm³ sería incoherente con la precisión real del método.
2. ¿Cuál de las dos mejoras propuestas (bureta o pieza mayor) reduce más la incertidumbre? Justifica la respuesta con cálculos.
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Con bureta: dos lecturas de ±0,025 mL dan ΔV ≈ 0,04 mL (redondeando, 0,05 mL). Entonces ΔV/V = 0,05/6,0 = 0,8 %, y Δρ = 9,03 × 0,008 ≈ 0,07 g/cm³.
Con una pieza de volumen doble (12,0 mL): el error absoluto sigue siendo 0,2 mL, pero ΔV/V = 0,2/12,0 = 1,7 %, y Δρ ≈ 0,15 g/cm³.
La bureta mejora el resultado unas cuatro veces respecto al método original y unas dos veces respecto a la pieza mayor. La razón es que la incertidumbre relativa depende del cociente entre el error absoluto y el valor medido: la bureta ataca el numerador (reduce el error del instrumento), mientras que la pieza grande ataca el denominador (aumenta el valor medido).
Lo más eficaz sería combinar ambas mejoras, porque los dos efectos se multiplican. Nótese, además, que con la bureta la masa ya no sería despreciable frente al volumen, y habría que afinar también la balanza si se quisiera bajar de ±0,05 g/cm³.
3. Un compañero concluye: «9,03 está más cerca de 8,96 que de 7,87, luego la pieza es de cobre». Valora el razonamiento y propone cómo reforzar la conclusión.
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El razonamiento acierta en el punto de partida (comparar el intervalo medido con los valores tabulados) pero es incompleto, porque compara números puntuales e ignora la incertidumbre, que es justamente lo que da sentido a la medida.
Lo correcto es comparar intervalos: (9,0 ± 0,3) abarca de 8,7 a 9,3 g/cm³. Ese intervalo contiene el cobre (8,96) y excluye con claridad el hierro (7,87), el aluminio y el plomo. Por tanto, «compatible con cobre» es una conclusión defendible; «es cobre» no lo es, porque una sola magnitud no identifica un material: existen aleaciones (latón, bronce) con densidades parecidas, e incluso una pieza de cobre con porosidad o huecos internos daría una densidad aparente menor.
Para reforzar la conclusión habría que añadir una propiedad cualitativa independiente: color, atracción por un imán (descartaría hierro), reacción con ácido diluido (el cobre no desprende hidrógeno) o una medida repetida con otro método de volumen. La ciencia avanza acumulando pruebas independientes, no afinando un único número.