La cartela triangular: mediana, ángulo y verificaciones numéricas
Un taller de calderería de Santa Cruz de Tenerife debe cortar una cartela triangular de acero para un soporte de pasarela. El plano de fabricación fija el lado AB = 84 mm, la mediana desde C hasta el punto medio M de AB con valor m_c = 76 mm y el ángulo en C de 55°. El recorte se obtiene de una pletina de 100 × 70 mm y la cartela debe quedar inscrita en un alojamiento circular de 45 mm de radio, ya soldado, que no puede modificarse. Antes de enviar el DXF a la cortadora de plasma, el delineante debe decidir si los datos definen una cartela única, si la construcción con regla y compás a escala 1:1 es fiable y si el radio del alojamiento es compatible con el triángulo. El jefe de taller advierte que un error de 1 mm en la mediana desplaza el vértice C varios milímetros y que nada se corta sin verificación numérica previa.
1. Explica la construcción con regla y compás del triángulo a partir de AB, m_c y el ángulo C, y decide cuántas cartelas distintas existen realmente.
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Trazado
- Se dibuja AB = 84 mm y su mediatriz; M es el punto medio.
- Arco capaz de 55° sobre AB: su radio es R = AB / (2·sen 55°) = 84 / 1,638 = 51,3 mm y su centro O se sitúa sobre la mediatriz, a R·cos 55° = 29,4 mm de AB.
- Circunferencia de centro M y radio 76 mm (lugar geométrico de los puntos cuya distancia a M vale la mediana).
- Las intersecciones de ambas circunferencias dan los candidatos C y C'.
Discusión del número de soluciones Como O y M están ambos sobre la mediatriz, los dos puntos de corte son simétricos respecto de esa recta: los triángulos obtenidos son congruentes (imagen especular), no dos cartelas diferentes. Hay una sola forma y dos orientaciones.
Verificación Tomando M como origen: C = (±33,5; 68,2). Mediana = √(33,5² + 68,2²) = 76,0 mm; ángulo en C = 55,0°; lados CA = 101,7 mm y CB = 68,7 mm. La construcción existe porque 76 mm está entre |51,3 − 29,4| = 21,9 mm y 51,3 + 29,4 = 80,7 mm.
2. Comprueba numéricamente si el radio de 45 mm del alojamiento circular es compatible con los datos y, si no lo es, propón la modificación mínima.
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El círculo que contiene al triángulo es el circunscrito, y su radio queda fijado por el lado y el ángulo opuesto:
R = AB / (2·sen C) = 84 / (2·0,8192) = 51,3 mm
51,3 mm > 45 mm, luego la cartela no entra en el alojamiento tal como está definida. No sirve comprobar el círculo inscrito (r = Área/s = 2864 / 127,2 = 22,5 mm): ese valor solo garantiza que la cartela no invade el interior del aro, no que quepa en él. Conviene aclarar con el cliente si «inscrita» significa contenida (circunscrita al triángulo) o simplemente apoyada.
Modificaciones mínimas posibles:
- Mantener C = 55° y reducir el lado: AB ≤ 2·45·sen 55° = 73,7 mm.
- Mantener AB = 84 mm y abrir el ángulo: sen C = 84/90 = 0,9333 → C = 68,9° (o 111,1°, solución obtusa que agranda el triángulo y descuadra el conjunto).
La opción menos traumática es rebajar AB a 73 mm redondeando a la baja, que deja 1 mm de holgura radial.
3. Verifica si la cartela cabe en la pletina de 100 × 70 mm con corte por plasma (kerf 2 mm por lado) y razona si conviene girarla.
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Envolvente mínima. Con la base AB apoyada en el lado largo, la altura es 68,2 mm (Área = ½·84·68,2 = 2864 mm²). La envolvente es 84 × 68,2 mm, que cabe en 100 × 70 mm con márgenes de 8 mm y 1,8 mm.
¿Girarla? Conviene comprobar las otras dos orientaciones antes de decidir:
- Apoyada sobre el lado de 101,7 mm: altura = 2·2864 / 101,7 = 56,3 mm → envolvente 101,7 × 56,3 mm, que no cabe en los 100 mm de largo.
- Apoyada sobre el lado de 68,7 mm: altura = 2·2864 / 68,7 = 83,4 mm → no cabe en los 70 mm.
Conclusión. La única orientación válida es la de la base AB, y el margen vertical de 1,8 mm es insuficiente: el kerf de 2 mm por lado consume 4 mm en total y el corte se sale de la pletina. Hay que pedir chapa con sobremedida (por ejemplo 105 × 75 mm) o desplazar el anidado, no girar la pieza.