I85PREP
⌘ K
Canary Islands PAU Technical Drawing II study materials
Canary Islands PAU Technical Drawing II study resources

Canary Islands PAU Technical Drawing II practice questions

One question at a time. Build your Canary Islands PAU Technical Drawing II understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un triángulo, ¿cómo se llama el punto donde se cortan las tres mediatrices de sus lados?

  1. Ortocentro
  2. Incentro
  3. Baricentro
  4. Circuncentro Correct answer.

Explanation

Las mediatrices de los lados son las rectas perpendiculares a cada lado por su punto medio, y su intersección equidista de los tres vértices. Ese punto es el centro de la circunferencia circunscrita, de ahí el nombre de circuncentro. En un triángulo obtusángulo queda fuera del triángulo, lo que conviene recordar al trazar la circunferencia circunscrita.

Question 2Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un triángulo rectángulo, ¿en qué punto coincide el ortocentro?

  1. En el punto medio de la hipotenusa
  2. En el baricentro del triángulo
  3. En el centro de la circunferencia inscrita
  4. En el vértice del ángulo recto Correct answer.

Explanation

En un triángulo rectángulo los dos catetos son perpendiculares entre sí, por lo que cada cateto actúa como altura respecto del otro. Ambas alturas se cortan precisamente en el vértice del ángulo recto, y la altura sobre la hipotenusa también pasa por él. Por eso el ortocentro coincide con ese vértice y queda sobre el contorno del triángulo.

Question 3Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados?

  1. (2n − 4) · 90° dividido entre n
  2. (n − 1) · 180°
  3. (n − 2) · 180° Correct answer.
  4. n · 180°

Explanation

Al trazar las diagonales desde un solo vértice, el polígono de n lados queda descompuesto en n − 2 triángulos. Como cada triángulo suma 180°, la suma total de los ángulos interiores es (n − 2) · 180°. Para un cuadrilátero da 360° y para un pentágono 540°, lo que sirve de comprobación rápida.

Question 4Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Qué propiedad cumple todo paralelogramo respecto de sus diagonales?

  1. Son bisectrices de los ángulos del paralelogramo
  2. Tienen longitudes iguales
  3. Se cortan en su punto medio Correct answer.
  4. Son siempre perpendiculares entre sí

Explanation

En cualquier paralelogramo las diagonales se bisecan mutuamente, es decir, se cortan en el punto medio de ambas. Esto se demuestra comparando los triángulos que forman las diagonales con los lados opuestos, que son iguales y paralelos. Solo en casos particulares, como el rombo o el rectángulo, se añaden otras propiedades.

Question 5Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Qué figura se obtiene al unir los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera, convexo o no?

  1. Un rombo
  2. Un paralelogramo Correct answer.
  3. Un trapecio isósceles
  4. Un rectángulo

Explanation

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide su mitad. Aplicando esto a los dos triángulos que determina una diagonal del cuadrilátero, los segmentos medios resultan paralelos e iguales entre sí. Por tanto, el cuadrilátero de los puntos medios es siempre un paralelogramo, con independencia de la forma del original.

Question 6Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Cómo se define la circunferencia inscrita en un triángulo?

  1. Pasa por los tres vértices y su centro es el circuncentro
  2. Pasa por los tres puntos medios de los lados
  3. Es tangente a los tres lados y su centro es el baricentro
  4. Es tangente a los tres lados y su centro es el incentro Correct answer.

Explanation

La circunferencia inscrita es tangente a los tres lados del triángulo, y su centro debe equidistar de ellos. El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos lados es la bisectriz del ángulo, de modo que la intersección de las tres bisectrices, el incentro, es su centro. El radio se obtiene trazando la perpendicular desde el incentro a cualquier lado.

Question 7Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular?

  1. 108°
  2. 60°
  3. 120° Correct answer.
  4. 135°

Explanation

La suma de los ángulos interiores de un hexágono es (6 − 2) · 180° = 720°. Al ser regular, todos los ángulos son iguales, y 720° dividido entre 6 da 120° por ángulo. El ángulo central correspondiente, que es el exterior, mide 60°.

Question 8Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un triángulo isósceles, ¿qué recta notable coincide con la mediatriz de la base?

  1. La altura trazada desde el vértice opuesto a la base Correct answer.
  2. La altura trazada desde un vértice de la base
  3. La bisectriz del ángulo de la base
  4. La mediana relativa a uno de los lados iguales

Explanation

En un triángulo isósceles, la recta que une el vértice principal con el punto medio de la base es a la vez altura, mediana, bisectriz y mediatriz. Esto se debe a que los dos triángulos rectángulos en que divide la figura son congruentes. Por eso el eje de simetría del triángulo coincide con esa altura.

Question 9Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

Dados dos lados de un triángulo de longitudes 5 cm y 9 cm, ¿qué condición debe cumplir el tercer lado c para que el triángulo exista?

  1. 5 cm < c < 9 cm
  2. c > 14 cm
  3. c = 4 cm
  4. 4 cm < c < 14 cm Correct answer.

Explanation

La desigualdad triangular exige que cada lado sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Con lados 5 y 9, la suma vale 14 y la diferencia 4, de modo que c debe estar estrictamente entre 4 y 14. En los extremos los tres puntos serían colineales y no habría triángulo.

Question 10Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

Se quiere construir un triángulo conociendo los tres lados. ¿Cuántas soluciones no congruentes existen cuando se cumple la desigualdad triangular?

  1. Dos soluciones distintas
  2. Una sola, salvo simetrías Correct answer.
  3. Ninguna, faltan datos
  4. Tres soluciones distintas

Explanation

Al fijar un lado como base y trazar arcos con radios iguales a los otros dos lados desde sus extremos, los arcos se cortan en dos puntos simétricos respecto de la base. Ambos triángulos son congruentes por tener los tres lados iguales, por lo que la solución es única salvo reflexión. El criterio LLL garantiza esa unicidad.

Question 11Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

Al construir un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, ¿qué construcción es la más directa?

  1. Trazar las tres bisectrices y localizar el incentro
  2. Trazar el ángulo, llevar sobre sus lados las longitudes dadas y unir los extremos Correct answer.
  3. Trazar un arco capaz de 90° sobre uno de los lados
  4. Trazar las mediatrices de los lados y cortarlas

Explanation

Conocidos dos lados y el ángulo que forman, se dibuja el ángulo y se transportan sobre cada lado las longitudes correspondientes desde el vértice. Al unir los extremos obtenidos queda determinado el tercer lado y, con él, todo el triángulo. Es el criterio LAL aplicado como construcción directa.

Question 12Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un triángulo, el baricentro divide cada mediana en dos segmentos. ¿En qué proporción?

  1. Los dos segmentos son iguales
  2. El segmento desde el vértice es el doble del que va al punto medio Correct answer.
  3. La proporción depende de la forma del triángulo
  4. El segmento desde el vértice es el triple del otro

Explanation

El baricentro se sitúa a dos tercios de la mediana medidos desde el vértice y a un tercio desde el punto medio del lado. Por tanto, el segmento próximo al vértice es el doble del próximo al lado. Esta relación es constante en todo triángulo y permite localizar el baricentro sin trazar las tres medianas.

Question 13Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Qué condición debe cumplir un trapecio para que sea inscriptible en una circunferencia?

  1. Ser rectángulo
  2. Tener las diagonales perpendiculares
  3. Ser isósceles Correct answer.
  4. Tener un ángulo recto

Explanation

Un cuadrilátero es inscriptible si sus ángulos opuestos suman 180°. En un trapecio los ángulos adyacentes a cada base son suplementarios, y la condición se cumple cuando los ángulos de las bases son iguales, es decir, cuando el trapecio es isósceles. El trapecio rectángulo, en cambio, no admite circunferencia circunscrita.

Question 14Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Qué relación existe entre el lado y el radio de la circunferencia circunscrita en un hexágono regular?

  1. Son iguales Correct answer.
  2. El lado es el radio multiplicado por raíz de 2
  3. El lado es el doble del radio
  4. El lado es el radio multiplicado por raíz de 3

Explanation

En un hexágono regular el ángulo central mide 60°, de modo que cada uno de los seis triángulos formados con el centro es equilátero. Por eso el lado del hexágono coincide con el radio de la circunferencia circunscrita. Esta igualdad simplifica mucho el trazado del hexágono con compás.

Question 15Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un triángulo, ¿qué punto notable es el centro de la circunferencia que pasa por los tres pies de las alturas?

  1. El incentro
  2. El baricentro
  3. El punto medio del lado mayor
  4. El ortocentro del triángulo Correct answer.

Explanation

Los pies de las alturas de un triángulo, junto con los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices, determinan la circunferencia de los nueve puntos. Su centro es el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro. Por eso el ortocentro es una referencia clave en esa construcción.

Question 16Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Cuál es el ángulo central de un decágono regular?

  1. 144°
  2. 72°
  3. 45°
  4. 36° Correct answer.

Explanation

El ángulo central de un polígono regular de n lados se obtiene dividiendo 360° entre n. Para un decágono, 360° dividido entre 10 da 36°. El ángulo interior vale entonces 180° − 36° = 144°, que es su suplementario.

Question 17Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

Al construir un polígono regular de n lados conociendo el lado, ¿qué método general se emplea habitualmente?

  1. Determinar el centro mediante el ángulo central y trazar la circunferencia circunscrita Correct answer.
  2. Construir el incentro de un triángulo auxiliar
  3. Trazar la mediatriz de la diagonal mayor
  4. Trazar las diagonales desde un vértice y prolongarlas

Explanation

Conocido el lado, se calcula el ángulo central 360°/n y se construye un triángulo isósceles con ese ángulo en el centro y el lado como base. El vértice opuesto es el centro de la circunferencia circunscrita, sobre la que se transporta el lado n veces. Este procedimiento general sirve para cualquier polígono regular.

Question 18Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un rombo de diagonales 6 cm y 8 cm, ¿cuánto mide el lado?

  1. 10 cm
  2. 5 cm Correct answer.
  3. 14 cm
  4. 7 cm

Explanation

Las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio, formando cuatro triángulos rectángulos de catetos 3 cm y 4 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras, el lado vale la raíz cuadrada de 9 + 16, es decir, 5 cm. El perímetro sería entonces 20 cm.

Question 19Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Qué condición caracteriza a un cuadrilátero que es a la vez rectángulo y rombo?

  1. Es un trapecio rectángulo
  2. Es un cuadrado Correct answer.
  3. Es un romboide
  4. Es un trapecio isósceles

Explanation

El rectángulo aporta cuatro ángulos rectos y el rombo aporta cuatro lados iguales. La intersección de ambas condiciones es el cuadrado, único cuadrilátero que reúne las dos propiedades. Por eso el cuadrado se considera un caso particular tanto de rectángulo como de rombo.

Question 20Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Qué lugar geométrico describe el arco capaz de un ángulo dado sobre un segmento?

  1. El conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento
  2. El conjunto de puntos alineados con el segmento
  3. El conjunto de puntos desde los que el segmento se ve bajo ese ángulo Correct answer.
  4. El conjunto de puntos cuya distancia al segmento es constante

Explanation

El arco capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es el lugar de los puntos P desde los que el segmento AB se ve bajo el ángulo α. Se construye trazando el ángulo α en un extremo y levantando la perpendicular al lado correspondiente hasta cortar la mediatriz de AB, que da el centro del arco. Es una herramienta básica en construcciones de triángulos.

Question 21Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un triángulo cualquiera, ¿qué relación cumplen el ortocentro, el baricentro y el circuncentro?

  1. Forman siempre un triángulo equilátero
  2. Están alineados sobre la recta de Euler Correct answer.
  3. Determinan la circunferencia inscrita
  4. Coinciden en un único punto

Explanation

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de cualquier triángulo están alineados sobre la llamada recta de Euler. Además, el baricentro se sitúa entre los otros dos a un tercio de la distancia desde el circuncentro. Solo en el triángulo equilátero los tres puntos coinciden.

Question 22Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

Se conoce el lado a, el ángulo A opuesto a él y el ángulo B. ¿Cuántas soluciones puede presentar el triángulo y por qué?

  1. Ninguna, porque faltan dos lados
  2. Dos, porque el arco capaz corta a la recta en dos puntos
  3. Una sola, porque el tercer ángulo queda determinado y el lado se cierra por intersección Correct answer.
  4. Infinitas, porque solo hay dos datos angulares

Explanation

Conocidos A y B, el tercer ángulo C queda fijado por la suma 180°, de modo que los tres ángulos son conocidos. Al fijar el lado a entre los vértices B y C, las dos direcciones angulares desde sus extremos se cortan en un único punto A. Por eso la solución es única, a diferencia del caso ambiguo en que se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Question 23Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un pentágono regular, ¿qué relación guarda la diagonal con el lado?

  1. La diagonal es el doble del lado
  2. La diagonal es el lado multiplicado por la razón áurea Correct answer.
  3. La diagonal es igual al lado
  4. La diagonal es el lado multiplicado por raíz de 3

Explanation

En el pentágono regular, la diagonal y el lado están en proporción áurea, de valor aproximado 1,618. Esta relación procede de que las diagonales se cortan dividiéndose en media y extrema razón. El pentágono y su estrella de cinco puntas son la representación clásica de la sección áurea.

Question 24Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿En qué se convierte el ortocentro de un triángulo cuando este se transforma en obtusángulo?

  1. Pasa a situarse fuera del triángulo Correct answer.
  2. Coincide con el incentro
  3. Se mantiene siempre en el interior
  4. Se traslada al punto medio del lado mayor

Explanation

En un triángulo acutángulo el ortocentro está en el interior, pero al aumentar un ángulo hasta superar 90° las alturas se cortan fuera de la figura. En el triángulo rectángulo cae sobre el vértice del ángulo recto, y en el obtusángulo queda en la región exterior opuesta al ángulo obtuso. Por eso la posición del ortocentro informa sobre el tipo de triángulo.

Question 25Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un cuadrilátero convexo, ¿qué condición deben cumplir las diagonales para que el paralelogramo de los puntos medios sea un rectángulo?

  1. Que las diagonales del cuadrilátero sean iguales
  2. Que las diagonales sean bisectrices de los ángulos
  3. Que las diagonales se corten en su punto medio
  4. Que las diagonales del cuadrilátero sean perpendiculares Correct answer.

Explanation

Los lados del paralelogramo de Varignon son paralelos a las diagonales del cuadrilátero original y miden su mitad. Para que ese paralelogramo sea rectángulo, sus lados deben ser perpendiculares, lo que exige que las diagonales originales también lo sean. La igualdad de diagonales, en cambio, produciría un rombo.

Question 26Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un triángulo rectángulo, ¿dónde se sitúa exactamente el ortocentro?

  1. En el vértice del ángulo recto Correct answer.
  2. En el interior del triángulo, sobre la mediana de la hipotenusa
  3. En el punto medio de la hipotenusa
  4. En el exterior, sobre la prolongación de la hipotenusa

Explanation

El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas. En un triángulo rectángulo, los dos catetos son alturas mutuas, por lo que dos alturas coinciden con los lados que parten del ángulo recto y su intersección es ese mismo vértice. Por eso el ortocentro queda sobre el vértice del ángulo de 90°.

Question 27Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

¿Qué propiedad cumple todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia respecto a sus ángulos?

  1. Las diagonales son perpendiculares entre sí
  2. Los ángulos adyacentes suman 180°
  3. Los ángulos opuestos suman 180° Correct answer.
  4. Los cuatro ángulos son iguales

Explanation

En un cuadrilátero cíclico, cada ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca su ángulo opuesto, de modo que ambos ángulos juntos abarcan la circunferencia completa y suman 180°. Esta condición es necesaria y suficiente para que el cuadrilátero sea inscriptible.

Question 28Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

Se construye un triángulo isósceles con un ángulo desigual de 40° en el vértice superior. ¿Cuánto mide cada uno de los dos ángulos iguales de la base?

  1. 80°
  2. 40°
  3. 70° Correct answer.
  4. 140°

Explanation

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. Si el ángulo desigual mide 40°, quedan 140° repartidos entre los dos ángulos iguales de la base, de modo que cada uno mide 70°.

Question 29Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

En un paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto medio. ¿Qué figura se forma al unir los puntos medios de los cuatro lados de cualquier cuadrilátero convexo?

  1. Un trapecio isósceles
  2. Un paralelogramo Correct answer.
  3. Un rombo
  4. Un cuadrilátero cíclico

Explanation

Al unir los puntos medios de dos lados consecutivos se obtiene un segmento paralelo a la diagonal correspondiente y de longitud mitad. Repitiendo el razonamiento con las cuatro parejas, los lados opuestos de la figura resultante son paralelos entre sí, por lo que siempre es un paralelogramo, independientemente de la forma del cuadrilátero inicial.

Question 30Plane geometry: triangles, quadrilaterals and polygons (construction, properties, notable points and lines)

Se traza un pentágono regular de lado 4 cm. ¿Cuál es la relación entre su diagonal y su lado, y cuánto mide aproximadamente la diagonal?

  1. Diagonal = 2 × lado; exactamente 8 cm
  2. Diagonal = lado × número áureo; aproximadamente 6,47 cm Correct answer.
  3. Diagonal = lado × √3; aproximadamente 6,93 cm
  4. Diagonal = lado × √2; aproximadamente 5,66 cm

Explanation

En el pentágono regular la diagonal y el lado están en proporción áurea, es decir, diagonal = lado × φ con φ ≈ 1,618. Multiplicando 4 cm por 1,618 se obtiene aproximadamente 6,47 cm, valor que coincide con la construcción de la estrella pentagonal.

Question 31Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

En una homotecia de centro O y razón k = -2, ¿qué le ocurre a un punto P situado a 3 cm de O?

  1. Se sitúa a 6 cm de O sobre la misma semirrecta OP.
  2. Se sitúa a 6 cm de O sobre la semirrecta opuesta a OP. Correct answer.
  3. Se sitúa a 5 cm de O sobre la semirrecta opuesta a OP.
  4. Se sitúa a 1,5 cm de O sobre la misma semirrecta OP.

Explanation

En una homotecia, la distancia se multiplica por el valor absoluto de la razón: |k|·OP = 2·3 = 6 cm. El signo negativo de la razón significa que el punto imagen queda al otro lado del centro, sobre la semirrecta opuesta. Por tanto la imagen está a 6 cm de O en sentido contrario a P.

Question 32Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

¿Qué transformación del plano conserva la forma y los ángulos pero puede modificar el tamaño de una figura?

  1. La rotación.
  2. La simetría axial.
  3. La traslación.
  4. La homotecia. Correct answer.

Explanation

La homotecia multiplica todas las distancias por un factor constante k, de modo que conserva ángulos y proporciones pero cambia el tamaño salvo que |k| = 1. Las traslaciones, rotaciones y simetrías son isometrías y mantienen las longitudes. Por eso la única que puede alterar el tamaño es la homotecia.

Question 33Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

En una traslación de vector v = (3, -4), ¿cuál es el módulo del desplazamiento?

  1. 1
  2. 7
  3. 12
  4. 5 Correct answer.

Explanation

El módulo del vector traslación es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes: √(3² + (-4)²) = √25 = 5. Este valor indica la distancia real que recorre cada punto al trasladarse.

Question 34Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero?

  1. Dos
  2. Tres Correct answer.
  3. Uno
  4. Seis

Explanation

Un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría, cada uno de ellos la mediatriz de un lado, que pasa por el vértice opuesto. Al reflejar la figura respecto a cualquiera de esos ejes, la figura coincide consigo misma.

Question 35Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

Una rotación de centro O y ángulo 90° en sentido antihorario transforma el punto A(2, 0) en:

  1. (0, 2) Correct answer.
  2. (-2, 0)
  3. (0, -2)
  4. (2, 2)

Explanation

La rotación antihoraria de 90° alrededor del origen aplica la regla (x, y) → (-y, x). Aplicada a A(2, 0) se obtiene (0, 2), que efectivamente está a la misma distancia del centro y girado un cuarto de vuelta.

Question 36Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

¿Qué razón de homotecia transforma una figura en otra semejante de doble área?

  1. k = 2
  2. k = 4
  3. k = √2 Correct answer.
  4. k = 1/2

Explanation

En una homotecia de razón k, las áreas se multiplican por k². Para duplicar el área se necesita k² = 2, es decir, k = √2. Las longitudes se multiplican por √2, no por 2.

Question 37Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

La inversión de centro O y potencia p = 9 transforma un punto P con OP = 3 cm en un punto P' tal que:

  1. OP' = 3 cm Correct answer.
  2. OP' = 27 cm
  3. OP' = 3 cm en sentido opuesto
  4. OP' = 6 cm

Explanation

En una inversión se cumple OP · OP' = p, luego OP' = p / OP = 9 / 3 = 3 cm. Como p es positivo, P' está sobre la misma semirrecta OP. Por tanto OP' coincide numéricamente con OP en este caso.

Question 38Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

En una inversión de centro O y potencia positiva, ¿qué le ocurre a un punto que está sobre la circunferencia de autoinversión?

  1. Se aleja indefinidamente del centro.
  2. Es un punto fijo de la inversión. Correct answer.
  3. Se transforma en el propio centro O.
  4. Se invierte en el punto diametralmente opuesto.

Explanation

La circunferencia de autoinversión está formada por los puntos cuya distancia al centro satisface OP² = p. Para ellos OP' = p/OP = OP sobre la misma semirrecta, luego P' = P y el punto es fijo.

Question 39Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

Una figura se somete primero a una homotecia de razón 2 y después a una homotecia del mismo centro y razón 3. El resultado equivale a:

  1. Una traslación de vector doble.
  2. Una homotecia de razón 1,5.
  3. Una homotecia de razón 6. Correct answer.
  4. Una homotecia de razón 5.

Explanation

La composición de dos homotecias concéntricas es otra homotecia del mismo centro cuya razón es el producto de las razones: 2 · 3 = 6. Las distancias al centro se multiplican sucesivamente por 2 y por 3.

Question 40Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. Se aplica una homotecia de razón -0,5. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de la figura imagen?

  1. 2,5 cm Correct answer.
  2. 1,25 cm
  3. 5 cm
  4. 2 cm

Explanation

La hipotenusa original mide √(3² + 4²) = 5 cm. La homotecia multiplica las longitudes por |k| = 0,5, de modo que la hipotenusa imagen mide 2,5 cm. El signo negativo solo invierte la posición, no el tamaño.

Question 41Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

¿Cuál es el orden del grupo de simetrías rotacionales (giros que dejan invariante la figura) de un cuadrado?

  1. 8
  2. 2
  3. 6
  4. 4 Correct answer.

Explanation

Un cuadrado queda invariante al girarlo alrededor de su centro 90°, 180°, 270° y 360°. Eso da cuatro rotaciones, por lo que el grupo cíclico de rotaciones tiene orden 4.

Question 42Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

En una inversión de centro O, una recta que no pasa por O se transforma en:

  1. La misma recta.
  2. Una circunferencia que no pasa por O.
  3. Otra recta paralela a la original.
  4. Una circunferencia que pasa por O. Correct answer.

Explanation

En la inversión, una recta que no contiene el centro se transforma en una circunferencia que pasa por el centro O. La recta original es tangente a la circunferencia imagen en el punto correspondiente al pie de la perpendicular desde O.

Question 43Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

Una traslación de vector v seguida de otra traslación de vector w equivale a:

  1. Una traslación de vector v · w.
  2. Una traslación de vector v + w. Correct answer.
  3. Una rotación de ángulo igual al formado por v y w.
  4. Una homotecia de razón |v|/|w|.

Explanation

Las traslaciones forman un grupo abeliano y su composición es otra traslación cuyo vector es la suma vectorial de los dos vectores. Aplicar v y luego w desplaza cada punto exactamente lo que indica v + w.

Question 44Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

En coordenadas, una homotecia de centro el origen y razón k transforma el punto (x, y) en:

  1. (x + k, y + k)
  2. (k·x, k·y) Correct answer.
  3. (x/k, y/k)
  4. (k·y, k·x)

Explanation

Una homotecia de centro el origen multiplica las coordenadas de cada punto por la razón k: la imagen de (x, y) es (k·x, k·y). Esto garantiza que el vector posición respecto al centro se escala por k.

Question 45Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

¿Qué transformación es una isometría que invierte la orientación de las figuras?

  1. La traslación.
  2. La rotación de ángulo distinto de 0°.
  3. La homotecia de razón positiva.
  4. La simetría axial. Correct answer.

Explanation

La simetría axial conserva distancias y ángulos, por lo que es una isometría, pero invierte la orientación: un recorrido dextrógiro pasa a levógiro. Las rotaciones y traslaciones conservan la orientación.

Question 46Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

Dos triángulos son semejantes con razón de semejanza 3/2. Si el área del menor es 8 cm², el área del mayor es:

  1. 48 cm²
  2. 12 cm²
  3. 24 cm²
  4. 18 cm² Correct answer.

Explanation

En figuras semejantes, la razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza: (3/2)² = 9/4. Multiplicando 8 · 9/4 se obtiene 18 cm².

Question 47Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

Una inversión de centro O y potencia negativa transforma un punto P en un punto P' situado:

  1. En el centro O.
  2. Sobre la semirrecta opuesta a OP. Correct answer.
  3. En el mismo punto P.
  4. Sobre la semirrecta OP, entre O y P.

Explanation

Con potencia negativa, la relación OP · OP' = p da un producto negativo, lo que sitúa P' en la semirrecta opuesta a OP a distancia |p|/OP del centro. La imagen queda al otro lado del centro respecto a P.

Question 48Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

La composición de dos simetrías axiales cuyos ejes son paralelos y están separados una distancia d equivale a:

  1. Una traslación de módulo d perpendicular a los ejes.
  2. Una homotecia de razón d.
  3. Una rotación de 180° alrededor de un punto entre los ejes.
  4. Una traslación de módulo 2d perpendicular a los ejes. Correct answer.

Explanation

Al componer dos reflexiones de ejes paralelos, cada punto se refleja dos veces en la misma dirección, acumulando un desplazamiento igual al doble de la separación entre ejes. El resultado es una traslación perpendicular a los ejes y de módulo 2d.

Question 49Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

Una circunferencia de centro C y radio r pasa por el centro O de una inversión de potencia p. ¿En qué se transforma?

  1. En una recta que no pasa por O.
  2. En una circunferencia de radio r/2 que pasa por O.
  3. En la misma circunferencia.
  4. En una recta que no pasa por O y es perpendicular a OC. Correct answer.

Explanation

Una circunferencia que pasa por el centro de inversión se transforma en una recta que no contiene O. Esa recta es perpendicular a la recta OC y su distancia al centro de inversión vale p/(2r). Por tanto la imagen es una recta, no una circunferencia.

Question 50Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, translation, rotation and isometries

En el plano, la composición de una homotecia de centro O y razón k con una traslación de vector v (no nulo) da como resultado:

  1. Una homotecia de razón k si k ≠ 1, y una traslación si k = 1. Correct answer.
  2. Siempre una traslación de vector k·v.
  3. Una simetría axial respecto a una recta que pasa por O.
  4. Siempre una homotecia de razón k con otro centro.

Explanation

Una homotecia de razón k ≠ 1 seguida de una traslación es una homotecia de la misma razón cuyo centro se obtiene desplazando O. Si k = 1, la homotecia es la identidad y solo queda la traslación de vector v.