Centros de homotecia y tangentes comunes en la rotulación de dos discos
En la fachada de un centro comercial de Telde se rotulan dos discos metálicos que en el diseño son tangentes exteriores entre sí: C1, de centro O1 y 24 mm de radio, y C2, de centro O2 y 15 mm de radio, con O1O2 = 78 mm. Sobre el panel deben grabarse las dos tangentes exteriores comunes, que sirven de guía a unas varillas, y las dos tangentes interiores, que forman un aspa decorativa. Además, en el punto medio del segmento O1O2 se ha previsto un taladro pasante de Ø20 mm para el anclaje, y el instalador sospecha que las tangentes interiores interfieren con él. Se pide resolver el trazado por homotecia, justificar por qué las tangentes pasan por los centros de homotecia y comprobar numéricamente la interferencia antes de taladrar la chapa.
1. Localiza el centro de homotecia externo H y el interno I de las dos circunferencias, calcula sus distancias a O1 y O2 y justifica por qué las tangentes comunes pasan por ellos.
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Centro externo H (homotecia directa, razón positiva k = r2/r1 = 15/24 = 0,625). Divide a O1O2 en división externa:
O1H = d·r1/(r1 − r2) = 78·24/9 = 208 mm desde O1, más allá de O2; O2H = 78·15/9 = 130 mm.
Comprobación: HO2/HO1 = 130/208 = 0,625 = r2/r1 ✔
Centro interno I (homotecia inversa, k = −15/24). División interna:
O1I = d·r1/(r1 + r2) = 78·24/39 = 48 mm; O2I = 30 mm.
Justificación. Una homotecia de centro H transforma C1 en C2 y conserva la tangencia y las direcciones de las rectas que pasan por H. Toda tangente trazada desde H a C1 se transforma en una recta tangente a C2 con la misma dirección, es decir, en la tangente común. Lo mismo ocurre con I para las tangentes interiores, porque la homotecia negativa invierte el sentido pero mantiene la recta invariante.
2. Describe la construcción de las tangentes exteriores y calcula la longitud del segmento de tangencia entre ambos puntos de contacto.
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Construcción
- Con centro O1 se traza la circunferencia auxiliar de radio r1 − r2 = 24 − 15 = 9 mm.
- Desde H se trazan las tangentes a esa circunferencia auxiliar (arco capaz de 90° sobre HO1).
- Se une O1 con cada punto de tangencia T y se prolonga hasta cortar C1 en el punto real de contacto A.
- Por A se traza la paralela a HT: es la tangente común; se obtiene el contacto en C2 trazando por O2 la paralela a O1A.
Longitud del segmento de tangencia (entre los dos puntos de contacto):
L = √(d² − (r1 − r2)²) = √(78² − 9²) = √(6084 − 81) = √6003 = 77,5 mm
Ese valor es la longitud que debe tener cada varilla guía si se corta entre contactos, dato que se traslada al despiece sin necesidad de escalar.
3. Calcula la longitud de las tangentes interiores, comprueba la interferencia con el taladro de Ø20 mm centrado en el punto medio de O1O2 y decide qué hacer.
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Longitud de las tangentes interiores:
L = √(d² − (r1 + r2)²) = √(78² − 39²) = √(6084 − 1521) = √4563 = 67,6 mm
Construcción análoga: circunferencia auxiliar de centro O1 y radio r1 + r2 = 39 mm, tangentes desde I, y en cada punto de contacto el radio real se obtiene girando la perpendicular.
Interferencia. Las dos tangentes interiores se cortan en I, situado a 48 mm de O1. El punto medio M de O1O2 está a 39 mm de O1, luego IM = 48 − 39 = 9 mm. El taladro tiene radio 10 mm, de modo que I cae dentro del taladro: el aspa cruzaría el agujero y el anclaje no se podría mecanizar.
Decisión. No se puede mantener el taladro en M. Opciones: desplazar el anclaje perpendicularmente a O1O2 una distancia que garantice más de 10 mm desde I (más margen de seguridad), o reducir r2 para alejar I. Se descarta agrandar el taladro, porque empeora la interferencia.