Marquesina parabólica: foco-directriz, tangente y error de la polilínea
Para la entrada de un pabellón deportivo en Arona se proyecta una marquesina de directriz parabólica. En el plano de taller la parábola se define por su directriz d, vertical, y su foco F, situado a 36 mm de d; el eje es horizontal, el vértice V queda en el punto medio entre F y d y la concavidad mira hacia la fachada. La anchura libre del vano se mide sobre una recta perpendicular al eje situada a 30 mm del vértice, y el hueco practicable debe tener al menos 90 mm en ese punto. El fabricante pide además la tangente y la normal en el extremo superior del vano para anclar el canalón, y advierte que la chapa se corta con una polilínea de 8 cuerdas. Se duda entre trazar la curva punto a punto por el método foco-directriz o por el método de la tangente, y si la polilínea de 8 cuerdas respeta la tolerancia de 0,5 mm.
1. Explica cómo se traza la parábola con foco y directriz, y calcula la anchura del vano a 30 mm del vértice para decidir si se alcanzan los 90 mm exigidos.
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Elementos y trazado
- V es el punto medio del segmento mínimo entre F y d; el eje es la perpendicular a d por F, con la concavidad hacia el lado opuesto a d.
- Distancia foco-directriz p = 36 mm → distancia vértice-foco a = 18 mm.
- Con origen en V y eje x: y² = 4ax = 72x.
- Trazado punto a punto: se toman rectas paralelas a d a distintas distancias; en cada una, la circunferencia de centro F con radio igual a la distancia a d corta a la paralela en los puntos de la curva (definición: PF = distancia a d).
Cálculo del vano Para x = 30 mm: y² = 72·30 = 2160 → y = ±46,5 mm; anchura = 2·46,5 = 92,9 mm.
Decisión. 92,9 mm ≥ 90 mm, pero el margen es de solo 2,9 mm (1,45 mm por lado). Se cumple el requisito con muy poca holgura; conviene documentar el cálculo y comprobar en obra el replanteo antes de cortar, porque un error de 1 mm en el foco reduce la anchura en más de 1 mm.
2. Determina la tangente y la normal en el extremo superior del vano, y explica la propiedad geométrica que permite trazarlas sin calcular derivadas.
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Punto de trabajo: P(30; 46,5) (extremo superior).
Tangente por derivación De y² = 72x: y' = 36/y → m_t = 36/46,5 = 0,774, es decir, 37,7° sobre el eje. La tangente corta al eje en x_T = −x_P = −30 mm, resultado que coincide con la propiedad de la subtangente (la proyección del segmento VT es igual a la distancia del vértice al pie de P).
Normal: m_n = −1/0,774 = −1,292 → 52,3° sobre el eje.
Propiedad geométrica (la que hay que citar en el plano): la tangente en P es la bisectriz del ángulo formado por el radio vector PF y la recta por P paralela al eje; la normal bisecta el ángulo entre PF y la perpendicular a la directriz. Por eso basta con trazar la paralela al eje por P, unir P con F, bisectar y obtener tangente y normal sin más cálculo.
Anclaje del canalón: el soporte debe seguir la normal (perpendicular a la chapa), no la tangente, para que la fijación trabaje a tracción.
3. Evalúa si una polilínea de 8 cuerdas respeta la tolerancia de 0,5 mm y qué harías para asegurarla.
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Estimación de la flecha máxima. La zona crítica es el entorno del vértice, donde el radio de curvatura es mínimo: R_v = 2a = 36 mm. Con 8 cuerdas sobre una curva de 93 mm de desarrollo, la cuerda media ronda c ≈ 11,6 mm.
Flecha: f = R − √(R² − (c/2)²) = 36 − √(1296 − 33,6) = 36 − 35,53 = 0,47 mm
Decisión. 0,47 mm < 0,5 mm, pero el margen es de solo 0,03 mm: cualquier reparto desigual de las cuerdas (por ejemplo, subdivisiones uniformes en x, que alargan las cuerdas en la zona de menor curvatura) puede superar la tolerancia. No se acepta como definitivo.
Medidas correctoras
- Subir a 10–12 cuerdas, que baja la flecha con el cuadrado de la cuerda (8 → 12 reduce la flecha a ~0,21 mm).
- Repartir las cuerdas por longitud de arco y no por intervalos iguales de x, concentrando vértices cerca del vértice de la parábola.
- Alternativa de taller: cortar con interpolación (arco o spline) y usar la polilínea solo como comprobación.