Sección de un prisma pentagonal por un plano proyectante: verdadera magnitud y desarrollo
El museo de La Laguna expone una maqueta cuyo pedestal es un prisma recto de base pentagonal regular apoyado en el plano horizontal. La base tiene 30 mm de circunradio, el prisma 55 mm de altura y una de sus caras laterales es paralela al plano vertical de proyección. Para acoplar una vitrina inclinada se secciona el prisma con un plano perpendicular al plano vertical de proyección, cuya traza vertical forma 40° con la línea de tierra y que corta a la arista lateral posterior a 15 mm de la base. El taller de chapa necesita la sección en planta y alzado, su verdadera magnitud y el desarrollo del tronco, con la línea de doblez marcada. Se advierte que el plano corta las cinco caras laterales, que el desarrollo debe cerrarse sobre la arista posterior y que la chapa se pide en una sola pieza, sin solape.
1. Explica cómo se obtiene la sección en planta y en alzado y cuántos vértices tiene, justificando por qué son esos y no otros.
Read the worked answer
Razonamiento previo. El plano es perpendicular al plano vertical, por lo que en alzado se proyecta como una recta (su traza vertical, a 40° de la línea de tierra). Al cortar las cinco caras laterales, corta también las cinco aristas laterales: la sección es un pentágono con un vértice en cada arista.
Alzado
- Se dibuja el prisma en alzado (rectángulo de 55 mm de altura y anchura igual a la proyección de la base).
- Se traza la traza vertical del plano a 40° pasando por el punto de la arista posterior a 15 mm de la base.
- Cada intersección de esa recta con una arista lateral da un vértice de la sección, directamente en verdadera posición (no en verdadera magnitud).
- Se comprueba que las cinco alturas obtenidas están entre 0 y 55 mm; si alguna superase 55, el plano saldría por la cara superior y la sección dejaría de ser un pentágono.
Planta Cada vértice se baja por la vertical de correspondencia hasta su arista homóloga en la planta (donde las aristas se ven como puntos sobre la circunferencia de 30 mm de radio). El polígono de la planta queda deformado, con lados que no son iguales, lo que confirma que no está en verdadera magnitud.
2. ¿Cómo se obtiene la verdadera magnitud de la sección y por qué es preferible un cambio de plano a un giro en este caso?
Read the worked answer
Método: cambio de plano.
- Se traza una nueva línea de tierra paralela a la traza vertical del plano de corte (la recta del alzado).
- Desde cada vértice de la sección en planta se traza la perpendicular a la nueva línea de tierra.
- Sobre esas perpendiculares se llevan las cotas (distancias al plano horizontal) tomadas del alzado, medidas desde la nueva línea de tierra.
- La figura resultante es la sección en verdadera magnitud: un pentágono irregular cuyos lados son las longitudes reales de las intersecciones con cada cara.
Por qué no un giro. Girar el plano de corte obliga a arrastrar todo el sólido o a construir una vista auxiliar del prisma completo, y se pierde la correspondencia directa con la planta. El cambio de plano solo transforma las cotas de los cinco vértices ya conocidos, mantiene la correspondencia vertical con la planta y, además, sirve de base para medir los lados que luego se trasladan al desarrollo.
Comprobación. El perímetro de la sección en verdadera magnitud debe ser mayor que el de la sección en planta y en alzado; si no lo es, se ha tomado mal alguna cota.
3. Calcula los datos del desarrollo lateral del tronco y comprueba que cabe en un A3 a escala 1:1 con la sección y su verdadera magnitud.
Read the worked answer
Geometría del desarrollo
- Lado del pentágono: l = 2R·sen 36° = 2·30·0,5878 = 35,3 mm.
- Longitud total desarrollada: 5 · 35,3 = 176,3 mm.
- Altura: 55 mm (la del prisma).
Trazado
- Rectángulo de 176,3 × 55 mm dividido en cinco franjas de 35,3 mm: las generatrices son las aristas laterales.
- Sobre cada generatriz se lleva la altura del vértice de la sección correspondiente, tomada del alzado.
- Se unen los cinco puntos con rectas: la línea quebrada superior es el borde de corte.
- Las líneas de doblez son las cuatro generatrices interiores; el cierre se hace coincidir con la arista posterior (la que el plano corta a 15 mm), que queda como línea de unión, no de doblez.
Comprobación de formato Área de dibujo útil en A3 con marco ISO 5457: 390 × 277 mm. El desarrollo ocupa 176,3 × 55 mm y la verdadera magnitud de la sección unos 90 × 40 mm; el conjunto cabe a 1:1 con espacio para el alzado, la planta y el cajetín, por lo que no se reduce escala.