Transformaciones geométricas: homotecia, semejanza, inversión, traslación, rotación e isometrías
Este dominio de la PAU canaria comprueba el manejo de transformaciones que conservan distancias o proporciones, sus invariantes y la construcción de figuras homólogas. Es frecuente que se pida identificar el centro y la razón de una homotecia, o construir la imagen de una figura mediante una composición.
Isometrías
- Traslación: vector libre; conserva orientación.
- Rotación: centro y ángulo; una rotación equivale a dos simetrías axiales cuyos ejes se cortan en el centro y forman la mitad del ángulo.
- Simetría axial y central: invierten la orientación. Dos simetrías de ejes paralelos equivalen a una traslación de vector doble de la distancia entre ejes.
Homotecia y semejanza
La homotecia de centro O y razón k sitúa cada punto P' en la recta OP, con OP' = |k|·OP. Si k > 0, P' está en el mismo rayo; si k < 0, en el opuesto. Conserva paralelismo y ángulos, pero no distancias; las áreas varían con k². Una semejanza es composición de homotecia e isometría; los criterios de triángulos semejantes son AA, lados proporcionales y lado-ángulo-lado.
Inversión
Con centro O y potencia r², la imagen P' cumple OP·OP' = r² y está en la recta OP. Los puntos de la circunferencia de centro O y radio r son fijos; O no tiene imagen. Una recta que no pasa por O se invierte en una circunferencia que pasa por O, y una circunferencia que pasa por O se invierte en una recta. La inversión conserva ángulos, con inversión de orientación.
Ejemplo
Homotecia de centro O y razón k = −1/2 del triángulo ABC. Se traza la recta OA y se lleva A' en el rayo opuesto a OA, con OA' = OA/2; se repite con B y C. La figura imagen queda invertida respecto de O y con la mitad de tamaño; sus lados son paralelos a los originales y su área es 1/4 de la inicial.
Errores que restan
- Colocar la imagen de una homotecia negativa en el mismo rayo.
- Dar imagen al centro de inversión.
- Olvidar que la razón de áreas es k², no k.
- No comprobar la orientación en simetrías y semejanzas inversas.