Tangencias y cónicas: definiciones, elementos, construcción y tangentes
La PAU canaria combina en este dominio la resolución de tangencias entre rectas y circunferencias con el estudio métrico de las cónicas. Se valora la construcción razonada: localizar centros de tangencia, puntos de contacto y ejes, y justificar mediante propiedades métricas.
Tangencias
- La tangente a una circunferencia en T es perpendicular al radio OT.
- Dos circunferencias son tangentes si sus centros y el punto de contacto están alineados; la distancia entre centros es la suma o la diferencia de radios.
- Las tangentes desde un punto exterior P a una circunferencia se construyen con la circunferencia de diámetro OP: sus intersecciones con la dada son los puntos de contacto.
- Una circunferencia tangente a dos rectas con radio dado tiene su centro en las bisectrices del ángulo.
Cónicas
- Elipse: PF₁ + PF₂ = 2a, con focos F₁ y F₂, eje mayor 2a, eje menor 2b y excentricidad e = c/a < 1.
- Parábola: PF = PD, donde D es la proyección sobre la directriz; e = 1.
- Hipérbola: |PF₁ − PF₂| = 2a; tiene dos ramas, asíntotas y e > 1.
La tangente en un punto P de una elipse bisecta el ángulo exterior de los radios focales PF₁ y PF₂; la normal bisecta el ángulo interior. En la parábola, la tangente en P bisecta el ángulo entre PF y la paralela al eje por P.
Ejemplo
Dada una elipse con focos separados 60 mm y eje mayor 100 mm, se toma un punto P con PF₁ = 40 mm. Como PF₁ + PF₂ = 100, debe ser PF₂ = 60 mm; P se obtiene cortando arcos de radios 40 y 60 desde F₁ y F₂. Para la tangente en P, se prolonga F₁P y se bisecta el ángulo exterior entre PF₁ y PF₂; la bisectriz es la tangente.
Errores que restan
- Confundir la suma constante de la elipse con la diferencia de la hipérbola.
- Usar la directriz como si fuera un foco en la parábola.
- Trazar la tangente en un punto de la cónica sin construir la bisectriz correcta.
- Olvidar que en tangencias de circunferencias los centros y el punto de contacto son colineales.