Geometría descriptiva: poliedros y superficies; secciones, desarrollos y verdaderas magnitudes
La PAU canaria evalúa aquí la intersección de poliedros y superficies con planos, la obtención de la verdadera forma de la sección y el desarrollo de las caras o superficies. El alumno debe distinguir entre la sección proyectada y su verdadera magnitud, y dominar los métodos de abatimiento, cambio de plano o giro.
Poliedros
En un poliedro convexo se cumple V − E + F = 2. La sección por un plano se obtiene hallando la intersección con cada arista o cara; los puntos de corte se unen según las caras. La verdadera forma se logra con un plano auxiliar paralelo al plano secante, por abatimiento o por cambio de plano. El desarrollo exige medir cada cara en verdadera magnitud y ordenar las caras alrededor de una arista común.
Superficies
- Cilindro: la sección por un plano no paralelo a las generatrices es una elipse; si el plano es paralelo a las generatrices, la sección es un rectángulo o dos rectas.
- Cono: según la inclinación del plano respecto del eje y de las generatrices, la sección es circunferencia, elipse, parábola o hipérbola.
- El desarrollo del cilindro recto es un rectángulo de base 2πr y altura h.
- El desarrollo del cono recto es un sector circular de radio igual a la generatriz g y ángulo θ = 360°·r/g.
Ejemplo
Cono recto de radio r = 30 mm y altura h = 80 mm. La generatriz mide g = √(80² + 30²) = 85,44 mm. El desarrollo lateral es un sector de radio 85,44 mm; su arco debe medir la circunferencia de la base, 2π·30 = 188,50 mm. El ángulo es θ = 360°·30/85,44 ≈ 126,4°. Si el cono se truncara por un plano oblicuo, cada generatriz se llevaría a su verdadera longitud antes de dibujar el sector truncado.
Errores que restan
- Dibujar la sección en su proyección y llamarla verdadera forma.
- Desarrollar un cono truncado sin medir las generatrices en verdadera magnitud.
- Elegir mal el tipo de cónica en el cono por no comparar la inclinación del plano con la de las generatrices.
- Olvidar la costura o arista de unión en el desarrollo.