Enlace cóncavo en una placa cerámica con margen invadido
En el taller de cerámica se diseña una placa cuadrada de 80 mm de lado. El motivo principal es un círculo de radio r = 15 mm, con centro O sobre el eje vertical de la placa y a 40 mm del borde inferior. Desde ese borde debe arrancar un enlace cóncavo de radio R = 25 mm, tangente exterior al círculo y tangente al borde inferior, que se desarrolla hacia la derecha. La placa lleva una cenefa en el borde derecho que no puede cubrirse: el trazado solo se admite hasta x = 30 mm medidos desde el eje vertical. El encargado sospecha que el arco de R = 25 mm invade la cenefa, pero no quiere cambiar el círculo principal. Se pide comprobar la viabilidad del enlace, calcular el radio máximo que cabe y proponer un valor normalizado que deje al menos 1 mm de holgura.
1. Comprueba si el arco de R = 25 mm cabe dentro del límite x = 30 mm. Calcula el centro C y el punto de tangencia con el borde inferior, y explica qué condición de tangencia aplicas.
Read the worked answer
Pongo el origen en el punto del borde inferior situado bajo O, con el borde en y = 0 y O = (0, 40). Si el arco de radio R es tangente al borde inferior y queda por encima, su centro C cumple y_C = R = 25 mm. La tangencia con el círculo de r = 15 mm es exterior, luego la distancia entre centros vale R + r = 40 mm:
√(x_C² + (25 − 40)²) = 40 → x_C² + 225 = 1600 → x_C = 37,08 mm.
El punto de tangencia sobre el borde es (37,08; 0). Como 37,08 > 30, el arco no cabe: su centro y su punto de tangencia quedan fuera de la zona permitida. Además, al cortar la vertical x = 30, la circunferencia de enlace ya tiene puntos con y > 0 dentro de la cenefa, de modo que no basta con recortar el arco: invade el margen. Conclusión: R = 25 mm no es viable.
2. Calcula el radio máximo que puede tener el enlace con centro en x = 30 mm y propone un radio normalizado que deje al menos 1 mm de holgura. Indica el nuevo punto de tangencia.
Read the worked answer
Para el máximo, impongo que el centro esté en el límite C = (30, R). La tangencia al borde sigue dando y_C = R y la tangencia exterior al círculo da:
30² + (R − 40)² = (R + 15)² 900 + R² − 80R + 1600 = R² + 30R + 225 2500 − 80R = 30R + 225 2275 = 110R → R = 20,68 mm.
Ese valor es el límite teórico, con el punto de tangencia justo en x = 30. Para dejar 1 mm de holgura tomo R = 20 mm y compruebo dónde cae el centro: x² + (20 − 40)² = (20 + 15)² → x² + 400 = 1225 → x = 28,72 mm.
El punto de tangencia sobre el borde queda en (28,72; 0), con 1,28 mm de holgura respecto de x = 30. R = 20 mm es un valor normalizado y conserva la concavidad del enlace; si se quisiera más margen, R = 19 mm daría x ≈ 26,7 mm. La solución correcta no es reducir el círculo principal, sino disminuir el radio del enlace.