Sección plana de un módulo escultórico y plantilla de forma verdadera
Un módulo escultórico de madera es un prisma recto de 60 mm de anchura (x), 40 mm de profundidad (y) y 50 mm de altura (z). Para la sección que se mostrará en el museo, se pretende cortarlo con un plano que pasa por A(0,0,20), B(60,0,50) y C(60,40,30). El conservador quiere saber si el corte produce una cara plana de cuatro lados, si el cuarto vértice cae exactamente en la arista inferior trasera y si la plantilla rectangular de 70 × 50 mm que ya está cortada sirve para comprobar la forma verdadera. Además, el plano de montaje solo admite que la sección tenga un ángulo recto en B; si no lo tiene, habrá que girar la pieza. Las tres direcciones de la pieza se toman paralelas a los ejes x, y, z, y el plano de corte no es paralelo a ninguna de ellas.
1. Determina la intersección del plano de corte con la cuarta arista vertical y justifica si la sección es un cuadrilátero plano. Indica si el cuarto vértice cae en la arista inferior trasera.
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Con A(0,0,20), B(60,0,50) y C(60,40,30), planteo z = ax + by + c. De A: c = 20. De B: 50 = 60a + 20 → a = 0,5. De C: 30 = 30 + 40b + 20 → b = −0,5. El plano es z = 20 + 0,5x − 0,5y.
La cuarta arista vertical es x = 0, y = 40. Sustituyendo: z = 20 + 0 − 20 = 0. Por tanto el cuarto punto es D(0,40,0), que pertenece a la arista inferior trasera (z = 0) y coincide con su vértice inferior. La sección es A-B-C-D: cuatro puntos coplanarios por construcción, unidos sobre las caras del prisma. No hay más cortes en la cara superior o inferior porque en z = 50 solo se obtiene B y en z = 0 solo D. Es un cuadrilátero plano, pero con un vértice en una esquina del prisma.
2. Calcula la forma verdadera (longitudes de los lados y ángulo en B) y decide si la plantilla rectangular de 70 × 50 mm sirve para comprobar la sección. Explica el método.
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La forma verdadera se obtiene abatiendo el plano de corte o, equivalentemente, midiendo distancias reales entre los puntos, pues las coordenadas ya están en el espacio:
AB = √(60² + 0² + 30²) = 67,08 mm BC = √(0² + 40² + 20²) = 44,72 mm CD = √(60² + 0² + 30²) = 67,08 mm DA = √(0² + 40² + 20²) = 44,72 mm
Lados opuestos iguales: es un paralelogramo. En B, tomo BA = (−60, 0, −30) y BC = (0, 40, −20): BA·BC = 600; |BA||BC| = 67,08 × 44,72 = 3000; cos β = 600/3000 = 0,2 → β = 78,46°.
El ángulo no es recto, y los lados miden 67,1 y 44,7 mm. Una plantilla rectangular de 70 × 50 mm no reproduce ni las longitudes ni el ángulo: sobraría en los lados y no asentaría en B. Habría que cortar una plantilla paralelográfica con esas medidas y 78,5°, o mecanizar la pieza con la sección calculada.