Homotecia de un motivo para una lona publicitaria
Para una lona publicitaria de 2.400 × 1.200 mm se quiere ampliar un motivo dibujado en una maqueta. En la maqueta, el motivo es un rectángulo de 60 × 90 mm con un círculo de 24 mm de diámetro centrado en su parte superior. Se elige como centro de homotecia la esquina inferior izquierda de la lona, y la esquina inferior izquierda del motivo está a 100 mm de esa esquina en horizontal y en vertical. La diseñadora propone k = 20 para que el rectángulo mida 1.200 mm de ancho. El responsable de producción advierte que la lona lleva una banda superior de 100 mm que no puede taparse y que, además, el margen lateral izquierdo debe quedar libre. Se pide comprobar si k = 20 es posible, calcular el máximo k que cabe y decidir si conviene cambiar el centro de homotecia o el formato de la lona.
1. Comprueba la propuesta k = 20 con centro en la esquina inferior izquierda de la lona. ¿Qué le ocurre a la esquina inferior izquierda del motivo y al margen de 100 mm?
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Con centro de homotecia en (0,0), un punto P se transforma en P' = k·P. La esquina inferior izquierda del motivo está en (100,100) mm; con k = 20 pasa a (2000,2000) mm. Ese punto ya está fuera de la lona, que mide 2400 × 1200 mm: se sale por arriba antes de tener en cuenta el tamaño del motivo. El margen de 100 mm no se conserva, porque la homotecia también lo multiplica por k; se convierte en 2000 mm. Por tanto k = 20 es imposible con ese centro, y el error de razonamiento sería suponer que el margen queda fijo.
2. Calcula el máximo k posible con ese centro y el tamaño del motivo. Después calcula el máximo k si se traslada el centro a la esquina inferior izquierda del motivo y se mantienen 100 mm de margen superior e inferior.
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Con centro en (0,0), el punto más alto del motivo es (160,190) mm. La condición es 190k ≤ 1200 − 100 = 1100 mm → k ≤ 5,789. La anchura no limita: 160k ≤ 2400 daría k ≤ 15. Así, k_máx = 5,79; el rectángulo mediría 60 × 5,79 = 347 mm de ancho y 90 × 5,79 = 521 mm de alto, y quedaría desplazado: su borde izquierdo estaría a 579 mm del borde de la lona. La composición pierde el margen previsto.
Si el centro se traslada a la esquina inferior izquierda del motivo, el margen no escala. Con 100 mm arriba y abajo, la altura disponible es 1200 − 200 = 1000 mm; k ≤ 1000/90 = 11,11. La anchura disponible es 2400 − 200 = 2200 mm; k ≤ 2200/60 = 36,67. Manda la altura: k_máx = 11,11, ancho = 667 mm, alto = 1000 mm.
3. Decide qué solución defenderías en producción si se exige que el motivo mida 1200 mm de ancho. Justifica con los números.
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Para que el rectángulo mida 1200 mm de ancho hace falta k = 1200/60 = 20. Con el centro en la esquina del motivo, el alto sería 90 × 20 = 1800 mm. Añadiendo los 100 mm de margen superior e inferior, la lona necesitaría al menos 1800 + 200 = 2000 mm de alto; el actual tiene 1200 mm. Luego no basta con cambiar el centro: hay que cambiar el soporte o el motivo.
Defendería una de estas dos soluciones: (a) mantener la lona de 2400 × 1200 mm y aceptar k ≈ 11, con un motivo de 667 × 1000 mm y márgenes de 100 mm, o k = 10 para dejar holgura; (b) si el ancho de 1200 mm es obligatorio, rehacer la lona con al menos 2000 mm de alto y colocar el centro de homotecia en la esquina del motivo. Lo que no es defendible es mantener k = 20 sobre la lona actual ni afirmar que el margen de 100 mm se conserva solo.