Análisis geométrico de un cartel abstracto: sección áurea y desviaciones
En el comentario de una obra para la PAU se analiza un cartel abstracto de 800 × 500 mm. La artista afirma que el círculo central está inscrito en el rectángulo áureo que resulta de dividir el cartel mediante la sección áurea vertical. Los datos son: círculo de centro (400, 250) y radio 95 mm; líneas verticales de la sección áurea en x = 305,6 mm y x = 494,4 mm; diagonal principal de (0,0) a (800,500); cuadrado de 500 mm de lado en la mitad izquierda, cuya diagonal de (0,500) a (500,0) se cruza con la diagonal principal en el llamado centro de tensión. El tribunal pide no solo describir la geometría, sino valorar si el esquema es exacto o aproximado y qué intención compositiva se deduce de las desviaciones. La obra se reproduce a 1:1 en el examen, por lo que las medidas pueden comprobarse directamente sobre la lámina.
1. Comprueba si el círculo está exactamente inscrito entre las dos líneas verticales de la sección áurea. Calcula la desviación y valora su significado.
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La separación entre las verticales áureas es 494,4 − 305,6 = 188,8 mm. El círculo tiene diámetro 2 × 95 = 190 mm. Como 190 > 188,8, no está inscrito: sobresale 190 − 188,8 = 1,2 mm en total, es decir, 0,6 mm por cada lado si su centro está en x = 400 mm (400 − 305,6 = 94,4; 494,4 − 400 = 94,4; r = 95).
La desviación relativa es 1,2/188,8 = 0,0064, un 0,64 %. A tamaño 1:1 es una diferencia pequeña pero medible. No permite afirmar que la inscripción sea exacta; como mucho, que el trazado es una aproximación compatible con un ajuste óptico. Si la artista quería exactitud, el radio debería ser 94,4 mm, no 95 mm.
2. Halla el punto de cruce de la diagonal principal con la diagonal del cuadrado y compáralo con la intersección de las líneas áureas. ¿Qué se puede concluir?
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La diagonal principal va de (0,0) a (800,500): y = (500/800)x = 0,625x. La diagonal del cuadrado va de (0,500) a (500,0): y = 500 − x. Igualando: 0,625x = 500 − x → 1,625x = 500 → x = 307,69 mm; y = 192,31 mm.
La intersección de las líneas áureas es (305,6; 190,98). La diferencia es (2,09; 1,33) mm, y la distancia ≈ 2,48 mm. Sobre un cartel de 800 mm, es un 0,31 % de la anchura. El llamado centro de tensión no coincide exactamente con el cruce áureo, pero está muy próximo. Puede ser una construcción aproximada o un desajuste deliberado; no hay base para presentarlo como una coincidencia matemática exacta.
3. Redacta un comentario breve que distinga entre trazado regulador y exactitud métrica, y explica qué intención compositiva sugieren esas desviaciones.
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El cartel está claramente organizado por un trazado regulador: la división áurea vertical, el cuadrado de la izquierda, la diagonal principal y el círculo central no están colocados al azar. Pero las comprobaciones muestran que el esquema no es exacto: el círculo sobresale 0,6 mm por lado y el cruce de diagonales se separa 2,5 mm del cruce áureo. Esas diferencias son demasiado pequeñas para ser un error de composición y demasiado grandes para afirmar una construcción rigurosa.
La interpretación más defendible es que la obra busca un equilibrio casi matemático, con un ajuste óptico que evita la rigidez de una cuadrícula perfecta. En el comentario conviene distinguir entre la función estructurante de las líneas (ritmo, jerarquía, centro de tensión) y la exactitud métrica, que aquí no se cumple al milímetro. Decir que todo está construido con la sección áurea sería exagerado; decir que la geometría es irrelevante también.