Proporcionalidad y construcciones derivadas
La proporcionalidad resuelve gráficamente lo que de otro modo exigiría cálculo: cuartas proporcionales, medias proporcionales, secciones áureas y divisiones de segmentos. Aparece tanto en ejercicios autónomos como dentro de construcciones de polígonos, escalas o transformaciones.
Teorema de Thales y derivadas
Un haz de rectas paralelas que corta a dos secantes determina segmentos proporcionales: AB/BC = A'B'/B'C'. De ahí se obtienen:
- Cuarta proporcional de a, b y c: se colocan a y b sobre una semirrecta y c sobre otra, se une el extremo de b con el de c y se traza la paralela por el extremo de a.
- Tercera proporcional de a y b: caso particular con el término a repetido (a/b = b/x).
- División de un segmento en n partes iguales: semirrecta auxiliar con n divisiones iguales, unión de la última con el extremo y paralelas por las divisiones.
Media proporcional y sección áurea
La media proporcional x de a y b cumple a/x = x/b, es decir x = raíz de (a·b). Construcción: sobre una recta se colocan a y b consecutivos (AB y BC); con diámetro AC se traza una semicircunferencia y la perpendicular por B corta en D; el segmento BD es la media proporcional (teorema de la altura). El segmento áureo de AB es la parte x que cumple AB/x = x/(AB−x); vale 0,618·AB. El rectángulo áureo parte del cuadrado de lado AB: punto medio del lado, arco con radio hasta el vértice opuesto y prolongación de la base.
Ejemplo resuelto
Media proporcional de 28 mm y 63 mm. Se dibujan consecutivos, con AC = 91 mm; semicírculo de diámetro 91 mm; perpendicular por el punto de unión; el segmento obtenido mide 42 mm. Comprobación numérica: raíz de (28 · 63) = raíz de 1764 = 42. La calculadora es legítima para verificar, nunca para sustituir el trazado pedido.
Errores que cuestan puntos
Intercambiar cuarta y tercera proporcional, colocar los segmentos en orden equivocado (a/b = c/x no equivale a b/a = c/x) y confundir 0,618 con 1,618 al hablar del número áureo. También resta no indicar la medida final obtenida o trazar paralelas sin apoyo en los puntos de división.