Polígonos, circunferencias, tangencias y enlaces
Este bloque concentra buena parte de los ejercicios prácticos: son construcciones largas en las que cada paso depende del anterior y en las que la tangencia correcta decide la nota.
Polígonos regulares
- Dado el lado: triángulo equilátero, cuadrado con compás y perpendicular, pentágono por división áurea del lado, hexágono (lado igual al radio) y octógono por mediatrices y bisectrices.
- Dado el radio: el método general divide la circunferencia en n partes; para el pentágono se usan dos diámetros perpendiculares, el punto medio de un radio y un arco que da el lado.
- Relaciones útiles: lado del hexágono = R; lado del cuadrado inscrito = R·raíz de 2; lado del triángulo inscrito = R·raíz de 3.
Circunferencia y arco capaz
El arco capaz de un ángulo dado sobre un segmento AB es el lugar de los puntos que ven AB bajo ese ángulo: se levanta el ángulo en A, se traza la perpendicular a ese lado y la mediatriz de AB; su corte da el centro.
Tangencias y enlaces
Regla de oro: el centro de la circunferencia tangente, el punto de tangencia y el centro de la circunferencia dada están alineados; la tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto. Tangente a una circunferencia desde un punto exterior: circunferencia auxiliar de diámetro P-O. Tangentes exteriores a dos circunferencias: circunferencia auxiliar de radio R−r; para interiores, R+r. En los enlaces, el centro del arco de radio conocido está en la paralela a la recta a distancia r, en la concéntrica de radio R±r o en la bisectriz si enlaza dos rectas.
Ejemplo resuelto
Enlazar dos rectas perpendiculares con un arco de radio 20 mm. Se trazan paralelas a cada recta a 20 mm; su corte es el centro O. Los puntos de tangencia son los pies de las perpendiculares desde O a cada recta, situados a 20 mm del vértice. Se traza el arco entre ambos puntos con centro en O y se comprueba la alineación centro-punto de tangencia.
Errores que cuestan puntos
Situar el punto de tangencia donde termina el arco sin comprobar la alineación de centros; elegir R+r cuando la tangencia es exterior; y confundir el dato de partida del polígono (lado o radio), lo que invalida toda la figura. Tampoco se debe borrar la construcción auxiliar que justifica la solución.