Transformaciones geométricas: homología, homotecia, afinidad, inversión y simetría
Las transformaciones permiten relacionar figuras: la homotecia y la simetría conservan la forma, la afinidad y la homología mantienen incidencias y la inversión convierte rectas en circunferencias. El bloque evalúa tanto la definición como la ejecución con datos dados.
Simetría, giro y traslación
En la simetría axial el eje es mediatriz de cada segmento punto-imagen y se conservan distancias y ángulos. En la simetría central el centro es punto medio de cada pareja. El giro exige centro, ángulo y sentido; la traslación, un vector.
Homotecia
Centro O y razón k. Los puntos homotéticos están alineados con O y se cumple OA' = k·OA. Con k positiva la figura queda del mismo lado; con k negativa, invertida respecto de O. Las rectas homotéticas son paralelas: la homotecia no tiene rectas límite. Sirve para ampliar, construir figuras semejantes y resolver tangencias por semejanza.
Afinidad
Datos: eje, dirección de afinidad y un par de puntos afines (o la razón). Los puntos afines están en rectas paralelas a la dirección; los puntos del eje son dobles; las rectas afines se cortan en el eje.
Homología
Centro, eje y rectas límite. Es la base de la perspectiva cónica y de las secciones planas de cuerpos. Los puntos homólogos se alinean con el centro y las rectas homólogas se cortan en el eje. No conserva el paralelismo: las rectas paralelas a una recta límite tienen por homólogas rectas paralelas al eje.
Inversión
Centro O y potencia K = r², con OA·OA' = K y O, A, A' alineados. Las circunferencias que pasan por el centro se transforman en rectas y viceversa; es involutiva, conserva ángulos y las circunferencias ortogonales son autoinversas.
Ejemplo resuelto
Afinidad definida por eje e, dirección d y A que se transforma en A'. Para obtener B': se traza la recta AB hasta cortar el eje en P, que es doble; se une P con A' y se prolonga; la paralela a d por B corta esa recta en B'. Verificación: BB' es paralela a d y la recta A'B' pasa por P.
Errores que cuestan puntos
Confundir homotecia con homología (la primera conserva el paralelismo y carece de eje), aplicar una razón negativa sin invertir la figura respecto del centro y olvidar que el eje y el centro son elementos dobles.