Curvas cónicas y curvas técnicas
Las cónicas (elipse, hipérbola y parábola) se estudian por su definición focal y sus tangentes; las curvas técnicas (óvalo, ovoide, espirales, cicloide, evolvente) por su generación y sus enlaces. Ambas aparecen en trazados por puntos, tangencias y aplicaciones al diseño.
Cónicas: definiciones operativas
- Elipse: la suma de distancias a los focos es 2a. Ejes mayor 2a y menor 2b, con c² = a² − b². Circunferencia principal (centro O, radio a) y focales (centro en cada foco, radio 2a).
- Hipérbola: la diferencia de distancias es 2a, con c² = a² + b²; asíntotas por el centro de pendiente b/a.
- Parábola: equidista del foco y de la directriz; el vértice equidista de ambos.
Tangentes
En la elipse la tangente en un punto es la bisectriz exterior del ángulo de los radios vectores y la normal la bisectriz interior. En la parábola la tangente biseca el ángulo entre el radio focal y la paralela al eje. En la hipérbola se aplica el mismo criterio con sus radios vectores.
Curvas técnicas
- Óvalo: curva cerrada con dos ejes de simetría, formada por cuatro arcos tangentes con centros alineados con los puntos de tangencia. Óvalo dado el eje mayor: se divide el eje en cuatro partes y se trazan arcos con centros en la mediatriz.
- Ovoide: un solo eje de simetría; se construye sobre el eje menor con dos centros en el diámetro y dos exteriores.
- Espiral de Arquímedes: punto que se desplaza uniformemente sobre un radio que gira; se traza dividiendo circunferencia y radio en el mismo número de partes.
- Evolvente, cicloide, epicicloide e hipocicloide: se trazan por puntos, dividiendo la circunferencia generatriz y trasladando longitudes de arco sobre la directriz.
Ejemplo resuelto
Elipse de ejes 80 mm y 50 mm. Semiejes a = 40 y b = 25; c = raíz de (40² − 25²) = raíz de 975 ≈ 31,2 mm, que se lleva a ambos lados del centro sobre el eje mayor para situar los focos. Para cualquier punto P de la curva debe cumplirse PF + PF' = 80 mm: esa es la comprobación del trazado por puntos. La tangente en P se obtiene con la bisectriz exterior de los radios vectores.
Errores que cuestan puntos
Calcular c como a − b en lugar de usar la raíz de la diferencia de cuadrados; confundir óvalo y ovoide; trazar los arcos sin comprobar que centro y punto de tangencia están alineados; y no señalar focos o centros de arcos, que forman parte de la construcción solicitada.