Sección de un bloque cúbico por tres puntos medios: el hexágono que no era
En el taller se mecaniza un bloque cúbico de 60 mm de arista, apoyado en el plano horizontal de proyección y con sus caras paralelas a los planos de proyección. Los vértices de la base son A(0,0,0), B(60,0,0), C(60,60,0) y D(0,60,0), con X sobre AB, Y (alejamiento) sobre AD y Z (cota) sobre la vertical; los vértices superiores son A', B', C' y D'. El bloque debe cortarse por el plano definido por los puntos medios de las aristas AB, BC y AA'. El útil de corte solo puede inclinarse hasta 40° respecto del plano horizontal, y el cliente pide la superficie exacta de la cara de corte para calcular el sellado, con un mínimo de 3 800 mm². Un compañero ha dibujado la sección como un hexágono regular de lado 30 mm y afirma que su área es 2 338 mm². Se pide comprobar el trazado, la verdadera magnitud y la inclinación del plano.
1. Identifica los vértices de la sección, dibújala en las dos vistas y razona si es o no un hexágono.
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Ecuación del plano. Los tres puntos son M1(30,0,0), M2(60,30,0) y M3(0,0,15). Con M1M2 = (30,30,0) y M1M3 = (−30,0,15), el producto vectorial da (450, −450, 900) ∝ (1,−1,2); el plano es x − y + 2z = 30.
Intersección con las 12 aristas.
- Aristas verticales (x, y fijos): z = (30 − x + y)/2. En (0,0): z = 15 → P1(0,0,15) en AA'. En (0,60): z = 45 → P2(0,60,45) en DD'. En (60,60): z = 15 → P3(60,60,15) en CC'. En (60,0): z negativo, no corta.
- Aristas paralelas a Y: y = x + 2z − 30. Solo corta en (60,0): M2(60,30,0).
- Aristas paralelas a X: x = 30 + y − 2z. Solo corta en (0,0): M1(30,0,0).
- Aristas superiores (z = 60): ninguna cumple la ecuación.
Resultado. Cinco vértices: M1–M2–P3–P2–P1, un pentágono, no un hexágono. La hipótesis del compañero falla porque el plano solo atraviesa cinco aristas; para obtener el hexágono regular habría que pasar por los seis puntos medios, cosa que aquí no ocurre. Proyección horizontal: (30,0), (60,30), (60,60), (0,60), (0,0). Proyección vertical: (30,0), (60,0), (60,15), (0,45), (0,15). Ninguna de las dos es la verdadera magnitud, porque el plano es oblicuo a PH y a PV.
2. Obtén la verdadera magnitud y el área real de la sección, y compárala con el mínimo de 3 800 mm².
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Método. Un primer cambio de plano vertical perpendicular a la traza horizontal del plano deja la sección proyectada de canto (como una recta); un segundo cambio de plano paralelo a esa recta da la verdadera magnitud.
Cálculo directo (comprobación). La proyección horizontal del pentágono tiene vértices (30,0), (60,30), (60,60), (0,60), (0,0). Por la fórmula de Gauss: Σ(xi·yi+1 − xi+1·yi) = 900 + 1 800 + 3 600 + 0 + 0 = 6 300, luego área proyectada = 3 150 mm².
El ángulo entre el plano y PH sale del normal (1,−1,2)/√6: cos = 2/√6 = 0,8165. El área real es la proyectada dividida por ese coseno: 3 150/0,8165 = 3 858 mm².
Comprobación vectorial. ½·|Σ Pi × Pi+1| = ½·|(3 150, −3 150, 6 300)| = 1 575·√6 = 3 858 mm². Coincide.
Veredicto. 3 858 mm² > 3 800 mm², pero el margen es de solo 58 mm² (1,5 %): conviene revisar el despiece antes de aceptar, porque un redondeo en el trazado puede dejar la junta por debajo de lo exigido. Los 2 338 mm² del hexágono son un error de más del 40 %.
3. Determina la inclinación del plano respecto de PH y de PV y decide si el útil de corte puede ejecutar la pieza.
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Ángulo con PH. Es el que forma el plano con el horizontal; se obtiene con el ángulo entre la normal n = (1,−1,2)/√6 y la vertical (0,0,1): cos = 2/√6 = 0,8165 → 35,26°.
Ángulo con PV. Con la normal de PV (0,1,0): cos = 1/√6 = 0,4082 → 65,9° (equivale a 90° − 24,1°). Se comprueba también con las trazas: la traza horizontal x − y = 30 forma 45° con la línea de tierra, coherente con un plano que no es proyectante.
Decisión sobre el utillaje. El útil admite hasta 40° respecto de PH y la pieza pide 35,26°: entra, con 4,7° de margen. Si el plano se hubiera definido con los tres puntos medios en caras opuestas (el caso del hexágono), la inclinación habría sido de 54,7° y el útil no habría servido; el error del dibujo no era solo de área, también de viabilidad de mecanizado. Se recomienda amarrar el bloque con la cara de corte hacia arriba y verificar que la arista más larga (67,1 mm) no sobresalga de la mordaza.