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Question 1Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un triángulo, ¿qué punto es el centro de la circunferencia inscrita?

  1. El baricentro, intersección de las medianas
  2. El incentro, intersección de las bisectrices Correct answer.
  3. El ortocentro, intersección de las alturas
  4. El circuncentro, intersección de las mediatrices

Explanation

La circunferencia inscrita es tangente a los tres lados, y su centro equidista de ellos, condición que cumplen los puntos de cada bisectriz. Por tanto el centro es la intersección de las tres bisectrices, llamado incentro.

Question 2Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Cuántos ejes de simetría tiene un pentágono regular?

  1. Tres
  2. Diez
  3. Cinco Correct answer.
  4. Cuatro

Explanation

En un polígono regular de n lados, cada eje de simetría pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto, de modo que hay tantos ejes como lados. En el pentágono regular resultan cinco ejes.

Question 3Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una elipse de semieje mayor a y semieje menor b, ¿qué relación cumplen la semidistancia focal c, a y b?

  1. c = a + b
  2. c² = b² − a²
  3. c² = a² − b² Correct answer.
  4. c² = a² + b²

Explanation

Los focos se obtienen cortando el eje mayor con un arco de radio a trazado desde un extremo del eje menor, formando un triángulo rectángulo de catetos b y c e hipotenusa a. Aplicando Pitágoras resulta a² = b² + c², es decir, c² = a² − b².

Question 4Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Qué curva se obtiene al cortar un cono de revolución con un plano paralelo a una sola generatriz?

  1. Una circunferencia
  2. Una hipérbola
  3. Una parábola Correct answer.
  4. Una elipse

Explanation

Cuando el plano secante es paralelo a una generatriz, corta a una sola hoja del cono y su intersección es una parábola, con excentricidad igual a la unidad. Si el plano fuera paralelo al eje, la sección sería una hipérbola.

Question 5Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Cómo se traza la mediatriz de un segmento AB con regla y compás?

  1. Trazando la perpendicular a AB por el punto A
  2. Con arcos de radio AB desde A y desde B, uniendo los puntos obtenidos
  3. Dividiendo AB en tres partes iguales y uniendo los puntos de división
  4. Con arcos de igual radio, mayor que la mitad de AB, desde A y desde B, uniendo sus intersecciones Correct answer.

Explanation

La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A y de B. Por eso se trazan arcos de igual radio desde ambos extremos, con radio superior a la mitad del segmento para que se corten, y la recta que une las dos intersecciones es la mediatriz.

Question 6Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Qué propiedad define a la recta tangente a una circunferencia en un punto T?

  1. Pasa por el centro de la circunferencia
  2. Forma 45° con el radio en T
  3. Es perpendicular al radio en T Correct answer.
  4. Es paralela al radio en T

Explanation

El radio trazado hasta el punto de tangencia es perpendicular a la tangente en ese punto, propiedad que se usa como base en la mayoría de las construcciones de tangencias. Por ello la tangente es la perpendicular al radio en T.

Question 7Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un sistema de planos acotados, ¿qué representa el intervalo de una recta?

  1. La distancia horizontal entre dos curvas de nivel consecutivas de la recta Correct answer.
  2. La cota del punto de menor altura de la recta
  3. El ángulo que forma la recta con el plano horizontal
  4. La pendiente expresada en grados sexagesimales

Explanation

El intervalo es la proyección horizontal de la distancia entre dos puntos de la recta cuya cota difiere en una unidad. Se relaciona con la pendiente mediante la expresión pendiente = 1/intervalo, pero no se confunde con ella.

Question 8Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Cuál es el valor de la excentricidad de una circunferencia considerada como cónica?

  1. Mayor que uno
  2. Uno
  3. Cero Correct answer.
  4. Igual a 0,5

Explanation

La excentricidad mide la relación entre la distancia al foco y a la directriz; en la circunferencia los focos coinciden en el centro y la distancia focal es nula. Por eso e = c/a = 0.

Question 9Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Dado un segmento AB, se quiere construir un triángulo isósceles de base AB y altura h. ¿Qué construcción es correcta?

  1. Trazar la perpendicular a AB por A y llevar sobre ella la altura h
  2. Trazar la bisectriz del ángulo de 60° en A y cortarla con la paralela a AB por B
  3. Unir A y B con dos arcos de radio h y tomar su intersección
  4. Trazar la mediatriz de AB y situar el vértice C sobre ella a distancia h del punto medio Correct answer.

Explanation

En un triángulo isósceles el vértice opuesto a la base está en la mediatriz de esta, ya que equidista de A y de B. La altura se mide sobre esa mediatriz desde el punto medio de AB.

Question 10Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se inscribe un hexágono regular en una circunferencia de radio R. ¿Cuál es la relación entre el lado del hexágono y el radio?

  1. El lado es igual al radio R Correct answer.
  2. El lado es R·√2
  3. El lado es R/2
  4. El lado es R·√3

Explanation

Al unir el centro con dos vértices consecutivos se forma un triángulo equilátero, pues el ángulo central mide 60° y los dos lados radiales son iguales. Por tanto el lado del hexágono coincide con el radio de la circunferencia circunscrita.

Question 11Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Cómo se determina el centro de una circunferencia dada solo por un arco, sin conocer el radio?

  1. Trazando la tangente en un extremo del arco
  2. Con la bisectriz del ángulo formado por dos radios desconocidos
  3. Con dos cuerdas cualesquiera y la intersección de sus mediatrices Correct answer.
  4. Con la mediatriz de una sola cuerda

Explanation

Las mediatrices de todas las cuerdas de una circunferencia pasan por su centro. Bastan dos cuerdas no paralelas: la intersección de sus mediatrices determina el centro.

Question 12Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola de semieje real a y semieje imaginario b, ¿cuál es la pendiente de sus asíntotas?

  1. ±√(a²−b²)/a
  2. ±a/b
  3. ±b/a Correct answer.
  4. ±b²/a²

Explanation

Las asíntotas de la hipérbola x²/a² − y²/b² = 1 son las rectas y = ±(b/a)x. Su pendiente es, por tanto, el cociente entre el semieje imaginario y el semieje real.

Question 13Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Qué lugar geométrico describe el punto medio de una cuerda de longitud constante que se desplaza en una circunferencia de radio R?

  1. Una circunferencia concéntrica de radio √(R² − (L/2)²) Correct answer.
  2. Una recta paralela al diámetro
  3. La misma circunferencia de radio R
  4. Una elipse de semiejes R y L

Explanation

El radio trazado al punto medio de una cuerda es perpendicular a ella, formando un triángulo rectángulo con la semcuerda L/2 y el radio R. La distancia del centro al punto medio es constante e igual a √(R² − (L/2)²), luego el lugar es una circunferencia concéntrica.

Question 14Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se quiere trazar una recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior P. ¿Cuál es el paso clave?

  1. Trazar la perpendicular a OP por P
  2. Trazar la circunferencia de diámetro OP y cortarla con la dada; los puntos de corte son los de tangencia Correct answer.
  3. Trazar la mediatriz de OP y unir su punto medio con P
  4. Trazar la circunferencia de centro P y radio OP

Explanation

El ángulo formado por el radio al punto de tangencia y la recta tangente es recto, por lo que el punto de tangencia pertenece a la circunferencia de diámetro OP. Al cortarla con la circunferencia dada se obtienen los dos puntos de tangencia.

Question 15Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Qué condición debe cumplir el punto de tangencia entre dos circunferencias tangentes exteriores?

  1. Está alineado con los dos centros y situado entre ellos Correct answer.
  2. Está alineado con los centros pero fuera del segmento que los une
  3. Equidista de los centros sin estar alineado con ellos
  4. Forma un ángulo recto con los dos centros

Explanation

En la tangencia, ambas circunferencias comparten la misma recta tangente en el punto común, y los radios correspondientes son perpendiculares a ella. Por eso los dos centros y el punto de tangencia están alineados; en la tangencia exterior el punto queda entre los centros.

Question 16Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una parábola, ¿qué relación existe entre un punto P de la curva, el foco F y la directriz d?

  1. La distancia PF es igual a la distancia de P a la directriz Correct answer.
  2. La distancia PF es el doble de la distancia a la directriz
  3. La distancia PF es constante para todos los puntos de la curva
  4. La distancia PF es la mitad de la distancia a la directriz

Explanation

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y de la directriz. Esa igualdad define la curva y permite construirla punto a punto.

Question 17Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Cómo se construye un óvalo dado su eje mayor AB?

  1. Se traza la circunferencia de diámetro AB y se recorta por dos cuerdas paralelas
  2. Se divide AB en cuatro partes y se usan los cuatro puntos como centros
  3. Se divide AB en tres partes iguales y se trazan arcos con centros en los puntos de división y en los extremos Correct answer.
  4. Se traza la mediatriz de AB y se toman dos centros simétricos sobre ella

Explanation

El óvalo es una curva cerrada formada por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí, con dos ejes de simetría. Dado el eje mayor, se divide en tres partes iguales y se toman como centros los dos puntos de división y los dos extremos, ajustando los radios para que los arcos enlacen con tangencia.

Question 18Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En el trazado de una espiral de Arquímedes, ¿qué característica define la curva?

  1. La distancia radial crece proporcionalmente al ángulo girado Correct answer.
  2. La distancia entre espiras disminuye en progresión geométrica
  3. El radio es constante en cada vuelta
  4. La curva es una sucesión de semicircunferencias tangentes

Explanation

La espiral de Arquímedes cumple que el radio vector es proporcional al ángulo, de modo que las espiras quedan separadas por una distancia constante medida sobre un mismo radio. Se genera por el movimiento uniforme de un punto sobre una recta que gira también uniformemente.

Question 19Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se quiere trazar una recta tangente a una parábola paralela a una dirección dada. ¿Qué propiedad permite obtener el punto de tangencia?

  1. La tangente pasa siempre por el vértice de la parábola
  2. La tangente es perpendicular a la directriz
  3. La tangente es paralela al eje de la parábola
  4. La tangente en un punto biseca el ángulo formado por el radio focal y la paralela al eje por ese punto Correct answer.

Explanation

En la parábola, la tangente en un punto es la bisectriz exterior del ángulo formado por el segmento focal y la recta paralela al eje trazada por el punto. Esa propiedad, junto con la dirección pedida, permite localizar el punto de tangencia.

Question 20Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una elipse, ¿qué nombre recibe la cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor?

  1. Lado recto Correct answer.
  2. Radio vector
  3. Directriz
  4. Eje focal

Explanation

El lado recto es la cuerda focal perpendicular al eje mayor; su longitud vale 2b²/a. Aparece en la construcción de la elipse y en la comparación de sus elementos con los de la parábola.

Question 21Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se quiere empalmar dos rectas que forman un ángulo con un arco de radio conocido r. ¿Dónde se sitúa el centro del arco?

  1. En la intersección de las paralelas a ambas rectas trazadas a distancia r hacia el interior del ángulo Correct answer.
  2. En la intersección de las perpendiculares a las rectas por sus extremos
  3. En la bisectriz del ángulo, a distancia r del vértice
  4. En el punto medio del segmento que une los pies de las perpendiculares

Explanation

El centro debe equidistar de las dos rectas una distancia igual al radio, condición que cumplen las paralelas interiores trazadas a esa distancia. Su intersección fija el centro y las perpendiculares a cada recta dan los puntos de tangencia.

Question 22Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Dos circunferencias de radios R y r son tangentes interiores. ¿Cuál es la distancia entre sus centros?

  1. R + r
  2. 2r
  3. √(R² − r²)
  4. R − r Correct answer.

Explanation

En la tangencia interior, la circunferencia menor está dentro de la mayor y comparten un punto; el centro de la menor se sitúa sobre el radio de la mayor que pasa por el punto de tangencia. Por eso la distancia entre centros es la diferencia de radios.

Question 23Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En la construcción de la elipse por el método de los puntos, ¿qué propiedad se utiliza para obtener cada punto de la curva?

  1. El producto de las distancias a los focos es constante
  2. La distancia al foco es igual a la distancia a la directriz
  3. La suma de las distancias a los dos focos es constante e igual a 2a Correct answer.
  4. La diferencia de las distancias a los focos es constante

Explanation

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos focos fijos es constante, igual al eje mayor. Esta propiedad permite construirla punto a punto con regla y compás.

Question 24Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola, ¿qué relación existe entre la excentricidad e y las asíntotas cuando e aumenta?

  1. Las asíntotas se cierran y tienden a coincidir con el eje real
  2. Las asíntotas permanecen invariables sea cual sea e
  3. Las asíntotas desaparecen cuando e supera la unidad
  4. Las asíntotas se abren y se acercan a la perpendicularidad con el eje real Correct answer.

Explanation

La excentricidad vale e = c/a, y como c² = a² + b², un aumento de e implica un aumento de b/a, que es la pendiente de las asíntotas. Al crecer esa pendiente, las asíntotas se separan del eje real y se aproximan a la vertical.

Question 25Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se desea trazar las rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias de radios distintos. ¿Qué construcción conduce a los puntos de tangencia?

  1. Se traza la mediatriz del segmento que une los centros y se corta con ambas circunferencias
  2. Se unen los centros y se levantan perpendiculares en sus extremos
  3. Se traza una circunferencia auxiliar de radio R − r concéntrica con la mayor y se le trazan tangentes desde el centro de la menor Correct answer.
  4. Se traza una circunferencia auxiliar de radio R + r y se le trazan tangentes desde el centro de la mayor

Explanation

Al reducir el radio de la mayor en r se obtiene una circunferencia auxiliar tal que las tangentes desde el centro de la menor determinan las direcciones de las tangentes exteriores. Los radios paralelos trazados desde ambos centros fijan después los puntos de tangencia.

Question 26Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En el trazado de la mediatriz de un segmento AB con regla y compás, ¿qué radio deben tener los arcos que se cruzan para que la construcción sea válida?

  1. Un radio menor que la mitad de AB, distinto en cada extremo.
  2. Exactamente la longitud del segmento AB en ambos extremos.
  3. Cualquier radio mayor que la mitad de AB, igual en ambos extremos. Correct answer.
  4. Exactamente la mitad de AB, medido desde un solo extremo.

Explanation

La mediatriz se obtiene como lugar geométrico de los puntos equidistantes de A y de B. Para que los dos arcos se corten, el radio empleado debe superar la mitad de AB, y debe ser el mismo desde ambos extremos para que los puntos de corte equidisten.

Question 27Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al dividir un segmento AB en un número n de partes iguales mediante el método de la recta auxiliar, ¿qué teorema justifica que las divisiones obtenidas sean proporcionales?

  1. El teorema de la altura en triángulos rectángulos.
  2. El teorema del cateto en triángulos rectángulos.
  3. El teorema de Tales de segmentos proporcionales entre paralelas. Correct answer.
  4. El teorema de Pitágoras aplicado al triángulo auxiliar.

Explanation

El procedimiento traza una recta auxiliar desde A con n divisiones iguales y une la última con B; las paralelas por las divisiones restantes cortan AB en partes proporcionales. Esa proporcionalidad entre paralelas que cortan a dos rectas es el teorema de Tales.

Question 28Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se construye un cuadrado a partir del lado AB. ¿Qué operación determina los dos vértices restantes?

  1. Trazar perpendiculares a AB por A y por B y llevar sobre ellas la longitud AB. Correct answer.
  2. Trazar la mediatriz de AB y llevar sobre ella el doble de AB.
  3. Trazar paralelas a AB separadas una distancia igual a AB.
  4. Trazar la bisectriz del ángulo que forma AB con su prolongación.

Explanation

En un cuadrado los lados consecutivos son perpendiculares e iguales. Por tanto, se levantan perpendiculares por los extremos A y B y se transporta sobre ellas la medida del lado AB para obtener los otros dos vértices.

Question 29Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Qué ángulo central corresponde a cada lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia?

  1. 72° Correct answer.
  2. 90°
  3. 60°
  4. 108°

Explanation

El ángulo central de un polígono regular inscrito se obtiene dividiendo 360° entre el número de lados. Para el pentágono, 360°/5 = 72°, que es el arco que abarca cada lado.

Question 30Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una elipse de semieje mayor a y semieje menor b, ¿qué expresión relaciona la semidistancia focal c con a y b?

  1. c = a − b
  2. c = a + b
  3. c = √(a² + b²)
  4. c = √(a² − b²) Correct answer.

Explanation

En la elipse se cumple la relación pitagórica a² = b² + c², ya que el foco, el extremo del semieje menor y el extremo del semieje mayor forman un triángulo rectángulo. Despejando, c = √(a² − b²).

Question 31Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Cuál es la condición que debe cumplir el centro de un arco tangente a dos rectas concurrentes de radio conocido r?

  1. Debe estar en el punto de intersección de las dos rectas.
  2. Debe equidistar de ambas rectas a una distancia igual al doble de r.
  3. Debe equidistar de ambas rectas, es decir, situarse sobre su bisectriz, a distancia r de cada una. Correct answer.
  4. Debe situarse sobre una de las rectas a distancia r del vértice.

Explanation

La tangencia a una recta exige que el centro esté a distancia r de ella, y la tangencia simultánea a dos rectas exige equidistancia. La bisectriz es el lugar de los puntos equidistantes de dos rectas, por lo que el centro se sitúa sobre ella a distancia r de ambas.

Question 32Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola, ¿cómo se define la excentricidad e y qué valores puede tomar?

  1. e = a/c, siendo siempre menor que 1.
  2. e = b/a, pudiendo ser mayor o menor que 1.
  3. e = c/b, siendo siempre igual a 1.
  4. e = c/a, siendo siempre mayor que 1. Correct answer.

Explanation

La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la semidistancia focal c y el semieje real a. Como en la hipérbola c > a, resulta siempre e > 1, a diferencia de la elipse.

Question 33Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En el óvalo, ¿qué diferencia esencial lo distingue de la elipse desde el punto de vista del trazado?

  1. El óvalo se compone de arcos de circunferencia, mientras la elipse es una curva continua sin arcos circulares. Correct answer.
  2. El óvalo posee focos y la elipse carece de ellos.
  3. El óvalo tiene cuatro ejes de simetría y la elipse solo dos.
  4. El óvalo es siempre una curva abierta y la elipse cerrada.

Explanation

El óvalo es una curva cerrada formada por arcos de circunferencia empalmados, por lo que se construye con centros y radios definidos. La elipse es una cónica y no se compone de arcos circulares, aunque su forma sea semejante.

Question 34Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se quiere trazar una recta tangente a una circunferencia en un punto T de ella. ¿Qué relación debe cumplir la recta respecto al radio OT?

  1. Debe ser paralela al radio OT.
  2. Debe ser perpendicular al radio OT en T. Correct answer.
  3. Debe pasar por el centro O además de por T.
  4. Debe formar con OT un ángulo de 45°.

Explanation

El radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. Por eso, conocidos la circunferencia y el punto T, basta trazar la perpendicular al radio OT en T para obtener la tangente.

Question 35Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Dos circunferencias de radios R y r (R > r) son tangentes exteriores. ¿Cuál es la distancia entre sus centros?

  1. R + r Correct answer.
  2. 2R − r
  3. R − r
  4. √(R² − r²)

Explanation

En la tangencia exterior los centros y el punto de tangencia están alineados con el punto de tangencia entre ambos centros. La distancia entre centros es la suma de los radios, R + r.

Question 36Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una parábola, el segmento que une el foco F con un punto P de la curva y la perpendicular de P a la directriz, ¿qué relación mantienen?

  1. Su suma es constante e igual al parámetro.
  2. Son iguales en longitud, propiedad que define la parábola. Correct answer.
  3. La distancia focal es siempre el doble de la distancia a la directriz.
  4. La distancia a la directriz es siempre el doble de la focal.

Explanation

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y de la directriz. Por tanto, la distancia PF es igual a la distancia de P a la recta directriz, lo que permite construir punto a punto la curva.

Question 37Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se desea trazar la recta tangente a una elipse en un punto P de la curva. ¿Qué propiedad de las direcciones se emplea?

  1. La tangente es perpendicular a la recta que une P con el centro.
  2. La tangente es paralela al eje mayor de la elipse.
  3. La tangente es la bisectriz interior del ángulo formado por PF y PF'.
  4. La tangente es la bisectriz exterior del ángulo formado por los radios vectores PF y PF'. Correct answer.

Explanation

En la elipse, los radios vectores desde los focos a un punto P forman con la tangente ángulos iguales, y la tangente biseca el ángulo exterior. Esta propiedad óptica permite trazar la tangente en P sin construir la curva completa.

Question 38Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En el trazado de la espiral de Arquímedes, ¿qué magnitud crece de forma lineal con el ángulo girado?

  1. El radio vector desde el polo. Correct answer.
  2. La longitud de arco recorrida sobre la curva.
  3. La curvatura en cada punto.
  4. El ángulo entre la tangente y el radio vector.

Explanation

La espiral de Arquímedes se define porque el radio vector crece proporcionalmente al ángulo girado respecto al polo. Por eso los puntos se obtienen dividiendo la circunferencia en partes iguales y el radio en el mismo número de partes.

Question 39Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se quiere inscribir un octógono regular en una circunferencia. ¿Qué construcción directa resulta válida partiendo de dos diámetros perpendiculares?

  1. Trazar las mediatrices de los cuatro radios y marcar los cortes con la circunferencia.
  2. Dividir cada diámetro en ocho partes iguales y unir los puntos.
  3. Trazar las bisectrices de los cuatro ángulos rectos y marcar los ocho puntos de corte con la circunferencia. Correct answer.
  4. Trazar tangentes a la circunferencia en los extremos de los diámetros.

Explanation

Dos diámetros perpendiculares determinan cuatro puntos que dividen la circunferencia en cuartos. Las bisectrices de esos ángulos rectos añaden otros cuatro puntos y generan ocho arcos iguales, que definen el octógono regular inscrito.

Question 40Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola equilátera, ¿qué relación cumplen los semiejes y las asíntotas?

  1. a = b y las asíntotas son perpendiculares entre sí. Correct answer.
  2. a = 2b y las asíntotas forman 30° con el eje real.
  3. a = b/2 y las asíntotas son paralelas al eje imaginario.
  4. a = b y las asíntotas son paralelas al eje real.

Explanation

La hipérbola equilátera tiene semiejes iguales, a = b, por lo que sus asíntotas tienen pendiente ±1 respecto a los ejes. Esas asíntotas son perpendiculares entre sí y forman 45° con el eje real.

Question 41Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se construye un triángulo equilátero de lado conocido L. ¿Qué altura resulta y cómo se obtiene gráficamente?

  1. h = L·√3/2, obtenida como cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa L y cateto L/2. Correct answer.
  2. h = L·√3, obtenida duplicando la apotema del hexágono.
  3. h = L·√2/2, obtenida por la diagonal del cuadrado de lado L.
  4. h = L/2, obtenida trazando la mediatriz del lado.

Explanation

La altura del triángulo equilátero se calcula con Pitágoras: h² = L² − (L/2)², de donde h = L·√3/2. Gráficamente coincide con la mediatriz del lado, que también es altura y mediana.

Question 42Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En el enlace de dos circunferencias mediante un arco de radio conocido r, ¿qué condición deben cumplir los centros para que el empalme sea tangente?

  1. El centro del arco debe coincidir con el punto medio entre los dos centros.
  2. La distancia entre el centro del arco y cada centro debe ser la suma o la diferencia de radios, según la tangencia sea exterior o interior. Correct answer.
  3. Los tres centros deben estar alineados sobre una misma recta.
  4. La distancia entre el centro del arco y cada centro debe ser siempre igual a r.

Explanation

La tangencia entre circunferencias exige que la distancia entre centros sea la suma de radios si es exterior y la diferencia si es interior. Por eso el centro del arco de enlace se localiza como intersección de circunferencias auxiliares con esos radios.

Question 43Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una parábola de parámetro p, ¿qué distancia separa el foco de la directriz?

  1. 2p
  2. p/4
  3. p Correct answer.
  4. p/2

Explanation

El parámetro p de la parábola es la distancia entre el foco y la directriz. El vértice se sitúa en el punto medio entre ambos, a p/2 de cada uno.

Question 44Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al construir la elipse por el método de los puntos a partir de los ejes, ¿qué propiedad se emplea para obtener cada punto de la curva?

  1. Que la diferencia de las distancias a los dos focos es igual al eje menor.
  2. Que la suma de las distancias a los dos focos es constante e igual al eje mayor. Correct answer.
  3. Que el producto de las distancias a los dos focos es constante.
  4. Que la distancia al centro es constante e igual al semieje menor.

Explanation

La definición focal de la elipse establece que la suma de distancias de un punto a los dos focos es constante e igual a 2a. El método de los puntos aprovecha esta igualdad para localizar puntos de la curva con precisión.

Question 45Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se traza la recta tangente a una hipérbola en un punto P. ¿Qué propiedad de los radios vectores se cumple?

  1. La tangente es perpendicular a la recta que une P con el centro.
  2. La tangente es la bisectriz del ángulo formado por PF y PF'. Correct answer.
  3. La tangente pasa siempre por el vértice del eje real.
  4. La tangente es paralela a una de las asíntotas en todo punto.

Explanation

En la hipérbola, los radios vectores desde los focos a un punto P forman ángulos iguales con la tangente, que actúa como bisectriz. Esta propiedad es análoga a la de la elipse y permite trazar la tangente en P.

Question 46Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En la construcción de la cicloide, ¿qué relación define la posición de un punto P de la curva generada por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar?

  1. El centro de la circunferencia permanece fijo mientras gira el punto generador.
  2. El radio de la circunferencia generatriz crece proporcionalmente al avance.
  3. El arco recorrido por la circunferencia generatriz es igual al segmento recto avanzado por su centro. Correct answer.
  4. El ángulo girado es siempre igual al doble del desplazamiento del centro.

Explanation

En la cicloide la circunferencia rueda sin deslizar, de modo que el arco girado sobre la circunferencia coincide con la longitud recta recorrida por el centro. Esa igualdad permite dividir tanto la recta como la circunferencia en el mismo número de partes para construir la curva.

Question 47Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola, al aumentar la excentricidad manteniendo fijo el semieje real a, ¿qué ocurre con las asíntotas?

  1. Se cierran, disminuyendo su pendiente en valor absoluto.
  2. Se hacen perpendiculares al eje real para cualquier excentricidad.
  3. Se abren, aumentando su pendiente en valor absoluto respecto al eje real. Correct answer.
  4. Permanecen invariables porque solo dependen de a.

Explanation

La pendiente de las asíntotas es b/a, y como c² = a² + b², al crecer e = c/a también crece b para a fijo. Por tanto, la pendiente b/a aumenta y las asíntotas se abren acercándose a la vertical.

Question 48Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se desea trazar las tangentes comunes exteriores a dos circunferencias de radios distintos R y r. ¿Qué construcción auxiliar conduce a los puntos de tangencia?

  1. Trazar una circunferencia auxiliar de radio R + r concéntrica con la mayor y hallar las tangentes desde el centro de la menor.
  2. Trazar la circunferencia de diámetro igual a la distancia entre centros.
  3. Trazar una circunferencia auxiliar de radio R − r concéntrica con la mayor y hallar las tangentes desde el centro de la menor. Correct answer.
  4. Unir los centros y trazar la mediatriz del segmento entre ellos.

Explanation

Para las tangentes exteriores se reduce el problema a trazar tangentes desde un punto a una circunferencia auxiliar de radio R − r. Los puntos de tangencia así obtenidos, trasladados radialmente, dan los puntos de contacto en la circunferencia mayor.

Question 49Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un arco de circunferencia de radio R, ¿qué relación existe entre la cuerda c, la flecha f y el radio cuando el arco es menor que una semicircunferencia?

  1. R = c²/(8f)
  2. R = (c + f)/2
  3. R = c·f/2
  4. R = (c²/4 + f²)/(2f) Correct answer.

Explanation

Aplicando el teorema de la altura o la potencia del punto medio de la cuerda, se obtiene (c/2)² = f·(2R − f). Despejando R resulta R = (c²/4 + f²)/(2f), expresión que permite hallar el radio conociendo cuerda y flecha.

Question 50Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En la construcción de la involuta o evolvente de una circunferencia, ¿qué propiedad geométrica define cada punto de la curva?

  1. Es la trayectoria de un punto de una recta que rueda sin deslizar sobre la circunferencia. Correct answer.
  2. Es la curva envolvente de las tangentes trazadas desde un punto exterior fijo.
  3. Es el lugar de los puntos cuya distancia al centro crece linealmente con el ángulo.
  4. Es la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda sobre una recta.

Explanation

La involuta se genera al desarrollar una recta tangente sobre la circunferencia sin deslizar; cada punto de la recta describe la curva. La longitud desarrollada es igual al arco recorrido, lo que permite construirla por divisiones iguales.