Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias
La geometría plana aporta las herramientas con las que se resuelven los demás bloques: sin un trazado fino no hay tangencia correcta ni perspectiva creíble. La prueba pide construir, no medir; cada resultado debe obtenerse con regla y compás y quedar justificado por el lugar geométrico que lo define, con centros, puntos de tangencia y ejes marcados.
Lugares geométricos y construcciones básicas
- Mediatriz: puntos equidistantes de A y B; perpendicular por el punto medio. Bisectriz: puntos equidistantes de dos rectas, base de todo centro de circunferencia tangente a dos rectas.
- Arco capaz de α sobre AB: centro en la mediatriz y ángulo constante desde cualquier punto del arco. Para α = 90° degenera en la circunferencia de diámetro AB (Thales).
- División de un segmento en n partes iguales por Tales; paralela y perpendicular a distancia dada; rectificación de arcos y de la circunferencia.
Polígonos regulares
Dado el radio, se divide la circunferencia en n partes (ángulo central 360°/n). Dado el lado, se combina la mediatriz con el ángulo interior o se emplea el método general: perpendicular por un extremo, arco de radio igual al lado y división en seis partes para situar los centros O_n sobre la mediatriz. En el hexágono el lado coincide con el radio, atajo que conviene recordar.
Cónicas
- Elipse: PF + PF' = 2a, con a² = b² + c². La tangente en un punto es la bisectriz exterior de los radios vectores.
- Parábola: d(P,F) = d(P,directriz). La tangente es la bisectriz entre el radio vector y la paralela al eje.
- Hipérbola: |PF − PF'| = 2a; asíntotas a partir del rectángulo de lados 2a y 2b.
Tangencias y enlaces
El centro de una circunferencia tangente a dos rectas está en la bisectriz. Si es tangente a una recta y a una circunferencia de radio R, su centro está en la paralela a distancia r y en la circunferencia concéntrica de radio R ± r. Entre dos circunferencias, el punto de tangencia está en la recta de centros y la distancia entre centros vale R + r (exterior) o R − r (interior).
Ejemplo resuelto
Enlazar dos rectas que se cortan a 60° con un arco de radio 20 mm. Se trazan paralelas interiores a cada recta a 20 mm y su intersección da el centro O. Los puntos de tangencia son los pies de las perpendiculares desde O a cada recta, no el vértice del ángulo. Se traza el arco entre T1 y T2: hay continuidad porque en cada punto de tangencia el radio es perpendicular a la recta.
Errores que restan puntos
- No marcar T1, T2 y O: la construcción se considera incompleta.
- Sustituir la construcción por medidas tomadas con la regla graduada.
- Confundir tangente con secante o dejar el arco sin enlazar con las rectas.
- Trazar los auxiliares con el grosor de la línea definitiva, ensuciando el resultado.