Concours Banque PT cheat sheet

Théorème de Rolle : si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c∈]a,b[ tel que f'(c)=0.

Théorème des accroissements finis : f(b)-f(a) = (b-a) f'(c) pour un certain c∈]a,b[, sous les mêmes hypothèses de continuité et dérivabilité.

Développements limités usuels en 0 : e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²) ; ln(1+x) = x - x²/2 + o(x²) ; sin x = x - x³/6 + o(x³) ; cos x = 1 - x²/2 + o(x²).

Équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants : solution générale = solution homogène + solution particulière ; l'équation caractéristique r² + ar + b = 0 donne les exponentielles ou les sinus/cosinus selon le discriminant.

Intégration par parties : ∫_a^b u'v = [uv]_a^b - ∫_a^b u v' ; choisir u' facile à intégrer et v' facile à dériver.

Convergence des séries : si ∑|u_n| converge alors ∑u_n converge ; critère de d'Alembert avec lim |u_{n+1}/u_n| < 1 pour convergence absolue.

Matrices : une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(A) ≠ 0 ; alors A^{-1} = (1/det A) * com(A)^T (comatrice transposée).

Probabilités : formule des probabilités totales P(B)=∑ P(B|A_i)P(A_i) pour une partition {A_i} ; formule de Bayes P(A_i|B)=P(B|A_i)P(A_i)/P(B).

Espérance et variance : V(X)=E(X²)-[E(X)]² ; pour une loi normale N(μ,σ²), P(μ-σ<X<μ+σ)≈0,683 et P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0,954.

Loi de Newton : ∑F = m a dans un référentiel galiléen ; en mécanique du point, projection sur la base de Frenet donne m dv/dt = F_t et m v²/R = F_n.

Théorème de l'énergie cinétique : ΔE_c = W(F) sur le trajet ; pour une force conservative, W = -ΔE_p et l'énergie mécanique E_m = E_c + E_p se conserve.

Oscillateur harmonique amorti : équation x'' + 2λx' + ω₀²x = 0 ; régime pseudo-périodique si λ < ω₀, critique si λ = ω₀, apériodique si λ > ω₀.

Loi de Fourier : φ = -λ grad T ; en régime stationnaire unidimensionnel, résistance thermique R_th = e/(λS) et φ = ΔT/R_th.

Premier principe de la thermodynamique : ΔU = W + Q ; pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, PV^γ = cste avec γ = C_p/C_v.

Loi d'Ohm locale : j = σ E ; pour un conducteur ohmique, u = R i et la puissance dissipée P = R i² = u²/R.

Lois de Kirchhoff : la somme des intensités entrantes à un nœud égale la somme des sortantes ; la somme des tensions le long d'une maille orientée est nulle.

Ondes : relation c = λ f ; pour une corde tendue, célérité v = √(T/μ) ; pour un son dans l'air, v ≈ 340 m/s à température ambiante.

Optique géométrique : loi de Snell-Descartes n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂ ; condition de réflexion totale si n₁ > n₂ et i₁ > arcsin(n₂/n₁).

Torseur des actions mécaniques : {F} = (R ; M_A) avec R résultante et M_A moment en A ; transport du moment M_B = M_A + BA ∧ R.

Principe fondamental de la statique : la somme des torseurs des actions extérieures est nulle ; en 2D, trois équations scalaires (∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Mz=0).

Poutre en flexion : contrainte normale σ = M_f y / I_Gz ; flèche maximale pour une poutre console chargée en bout : f = F L³/(3 E I).

Critère de von Mises en 3D : σ_eq = √( ( (σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)² ) / 2 ) ; en traction simple σ_eq = |σ|.

Fonction de transfert en automatique : H(p) = S(p)/E(p) pour un système linéaire invariant ; les pôles sont les racines du dénominateur.

Stabilité d'un système bouclé : le système est stable si tous les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée ont une partie réelle strictement négative ; critère de Routh ou de Nyquist.

Système du premier ordre : H(p) = K/(1+τp) ; réponse indicielle s(t) = K(1 - e^{-t/τ}) ; temps de réponse à 5 % ≈ 3τ.

Système du second ordre : H(p) = K/(1 + 2ζp/ω₀ + p²/ω₀²) ; dépassement D% = 100 exp(-πζ/√(1-ζ²)) si ζ < 1.

Liaisons normalisées : pivot (1 rotation), glissière (1 translation), rotule (3 rotations), encastrement (0 degré de liberté) ; nombre de degrés de liberté d'une liaison = 6 - nombre de contraintes indépendantes.

Dissertation : une problématique se construit à partir de l'analyse des termes du sujet et de leurs présupposés ; elle doit être reformulée en une question claire et problématique.

Plan dialectique : thèse, antithèse, synthèse ; chaque partie contient des arguments illustrés par des exemples précis (œuvres, auteurs, situations).

Commentaire de texte : analyser la structure argumentative, les procédés stylistiques et les enjeux philosophiques ; citer le texte avec précision (lignes, expressions).

Notions philosophiques au programme : la vérité, la liberté, la justice, l'art, la technique, la conscience, la raison, la nature, le travail, le langage.

Auteurs classiques à mobiliser : Platon (allégorie de la caverne), Descartes (cogito, doute méthodique), Kant (impératif catégorique), Nietzsche (généalogie de la morale), Arendt (condition de l'homme moderne).

Figures de style à connaître : métaphore, métonymie, oxymore, anaphore, chiasme, hyperbole, litote, euphémisme ; savoir les identifier et interpréter leur effet.

Règles de la contraction de texte (si applicable) : réduire au quart ou à la moitié sans changer le sens, reformuler avec ses propres mots, respecter l'ordre des idées.

Méthode de l'oral : présenter le texte, dégager la thèse, expliquer un passage, puis répondre aux questions du jury en justifiant avec le texte.

Present perfect vs simple past : present perfect (have/has + participe passé) relie le passé au présent, sans date précise ; simple past situe l'action dans un passé révolu.

Conditionnels : if + present simple → will + infinitif (type 1) ; if + past simple → would + infinitif (type 2) ; if + past perfect → would have + participe passé (type 3).

Voix passive : be + participe passé ; l'agent est introduit par 'by' ; utile pour les textes scientifiques et techniques.

Connecteurs logiques : however, therefore, moreover, nevertheless, whereas, thus, hence, in contrast, furthermore ; ils structurent l'argumentation.

Vocabulaire technique : 'to design', 'to implement', 'to optimize', 'to simulate', 'to validate', 'trade-off', 'constraint', 'performance', 'reliability'.

Compréhension orale : repérer les mots-clés, les nombres, les noms propres et les articulateurs ; prendre des notes en abrégé.

Expression écrite : structurer en introduction, développement et conclusion ; utiliser des phrases courtes et des verbes d'action ; éviter le mot à mot.

Pour l'allemand/espagnol : revoir les déclinaisons (allemand) et la concordance des temps (espagnol) ; les connecteurs spécifiques (jedoch, deshalb ; sin embargo, por lo tanto).

Incertitudes de mesure : pour une grandeur X = f(a,b), l'incertitude composée s'écrit u(X) = √( (∂f/∂a)² u(a)² + (∂f/∂b)² u(b)² ) ; pour un produit/quotient, utiliser les incertitudes relatives.

Résolution d'un appareil : l'incertitude de type B vaut u_B = résolution/√12 ; pour une mesure unique, l'incertitude élargie U = k u avec k = 2 pour un niveau de confiance de 95 %.

Régression linéaire : coefficient de corrélation r proche de ±1 indique une bonne linéarité ; l'incertitude sur la pente peut être estimée par l'écart-type résiduel.

Sécurité au laboratoire : port des EPI (blouse, lunettes, gants), identification des pictogrammes de danger, connaissance des consignes d'évacuation et des extincteurs.

Protocole expérimental : définir l'objectif, lister le matériel, décrire les étapes, préciser les grandeurs mesurées et les conditions opératoires, prévoir les risques.

Présentation orale de TP : annoncer le but, montrer le montage, expliquer la démarche, présenter les résultats avec incertitudes, conclure sur la validité du modèle.

Entretien oral : savoir présenter son parcours, ses motivations pour la filière PT, un projet technique marquant, et répondre aux questions du jury avec honnêteté et précision.

Analyse de résultats : comparer la valeur mesurée à la valeur attendue en tenant compte des incertitudes ; un écart non significatif ne permet pas de conclure à une erreur.

Utilisation d'un oscilloscope : régler la base de temps et la sensibilité verticale, vérifier le couplage DC/AC, mesurer amplitude, période et déphasage.