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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques

Pour deux événements A et B d'un espace probabilisé, quelle égalité est toujours vraie ?

  1. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) + P(A ∩ B)
  2. P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
  3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Correct answer.
  4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Explanation

La formule du crible pour deux événements s'obtient en décomposant A ∪ B en réunion disjointe A et (B \ A). On retranche P(A ∩ B) car l'intersection est comptée deux fois dans la somme P(A) + P(B).

Question 2Mathématiques

Dans ℝ³, le plan d'équation cartésienne 2x − y + 3z = 6 admet pour vecteur normal :

  1. (6, 6, 6)
  2. (2, 1, 3)
  3. (2, −1, 3) Correct answer.
  4. (−1, 3, 6)

Explanation

Un plan d'équation ax + by + cz = d a pour vecteur normal le vecteur de coordonnées (a, b, c), coefficients des variables. Ici a = 2, b = −1 et c = 3, donc le vecteur normal est (2, −1, 3).

Question 3Mathématiques

La suite définie pour n ≥ 1 par u_n = (3n + 1)/(n + 2) converge vers :

  1. 1/2
  2. 0
  3. 3 Correct answer.
  4. +∞

Explanation

On factorise par n au numérateur et au dénominateur : u_n = (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Les termes 1/n et 2/n tendent vers 0, donc la limite vaut 3/1 = 3.

Question 4Mathématiques

Sur ℝ, la fonction f(x) = x³ − 3x a pour dérivée f′(x) égale à :

  1. 3x² − 3 Correct answer.
  2. 3x² − 3x
  3. 3x² + 3
  4. x² − 3

Explanation

On dérive terme à terme : la dérivée de x³ est 3x² et celle de −3x est −3. La dérivée est donc f′(x) = 3x² − 3, qui s'annule en x = −1 et x = 1.

Question 5Mathématiques

Le module du nombre complexe z = 3 − 4i vaut :

  1. 25
  2. 1
  3. 5 Correct answer.
  4. 7

Explanation

Le module se calcule par |z| = √(a² + b²) avec a = 3 et b = −4. On obtient √(9 + 16) = √25 = 5.

Question 6Mathématiques

Une matrice carrée A d'ordre n est inversible si et seulement si :

  1. sa trace est non nulle
  2. tous ses coefficients sont non nuls
  3. elle est symétrique
  4. son déterminant est non nul Correct answer.

Explanation

Le déterminant est un critère d'inversibilité : A est inversible exactement lorsque det(A) ≠ 0. Cette condition équivaut aussi au fait que les colonnes de A forment une base de ℝⁿ.

Question 7Mathématiques

La primitive sur ]0, +∞[ de la fonction x ↦ 1/x qui s'annule en x = 1 est :

  1. x ↦ ln(x) + 1
  2. x ↦ −1/x²
  3. x ↦ ln x Correct answer.
  4. x ↦ e^x

Explanation

Les primitives de 1/x sur ]0, +∞[ sont les fonctions x ↦ ln x + C. La condition F(1) = 0 impose ln 1 + C = 0, donc C = 0 et la primitive cherchée est x ↦ ln x.

Question 8Mathématiques

Dans un espace vectoriel, une famille de trois vecteurs de ℝ² est :

  1. libre si elle contient le vecteur nul
  2. toujours liée Correct answer.
  3. toujours libre
  4. libre si les vecteurs sont deux à deux distincts

Explanation

Dans un espace de dimension 2, toute famille de plus de deux vecteurs est nécessairement liée. Le nombre de vecteurs dépasse la dimension de l'espace, ce qui interdit l'indépendance linéaire.

Question 9Mathématiques

On lance deux dés équilibrés à six faces. La probabilité d'obtenir une somme égale à 7 est :

  1. 1/6 Correct answer.
  2. 1/9
  3. 1/12
  4. 7/36

Explanation

Il y a 36 issues équiprobables. Les couples de somme 7 sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), soit 6 issues favorables. La probabilité vaut donc 6/36 = 1/6.

Question 10Mathématiques

La série de terme général u_n = 1/n², pour n ≥ 1, est :

  1. divergente car son terme général tend vers 0
  2. divergente car elle est comparable à la série harmonique
  3. convergente car c'est une série de Riemann d'exposant 2 > 1 Correct answer.
  4. convergente car son terme général est positif

Explanation

Les séries de Riemann ∑ 1/n^α convergent si et seulement si α > 1. Ici α = 2 > 1, donc la série converge, et le terme général tend bien vers 0 sans que cela suffise à lui seul.

Question 11Mathématiques

Soit A = [[1, 2], [0, 3]]. Les valeurs propres de A sont :

  1. 1 et 2
  2. 3 et 0
  3. 2 et 0
  4. 1 et 3 Correct answer.

Explanation

La matrice est triangulaire supérieure, donc ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Le polynôme caractéristique est (1 − λ)(3 − λ), dont les racines sont 1 et 3.

Question 12Mathématiques

L'équation différentielle y′ + 2y = 0, avec y(0) = 3, admet pour solution sur ℝ :

  1. y(x) = 3 cos(2x)
  2. y(x) = 3 − 2x
  3. y(x) = 3e^(2x)
  4. y(x) = 3e^(−2x) Correct answer.

Explanation

La solution générale de y′ + ay = 0 est y(x) = C e^(−ax), ici C e^(−2x). La condition initiale y(0) = C = 3 fixe la constante, d'où y(x) = 3e^(−2x).

Question 13Mathématiques

La fonction f(x) = x² e^(−x) admet sur ℝ :

  1. un maximum local en x = 0
  2. un minimum local en x = 2
  3. aucun extremum local
  4. un maximum local en x = 2 Correct answer.

Explanation

On calcule f′(x) = (2x − x²)e^(−x) = x(2 − x)e^(−x). La dérivée s'annule en 0 et 2, change de signe de + à − en x = 2, qui est donc un maximum local.

Question 14Mathématiques

Dans ℝ³, l'intersection des plans d'équations x + y + z = 1 et x − y = 0 est :

  1. une droite Correct answer.
  2. un point
  3. un plan
  4. l'ensemble vide

Explanation

Deux plans non parallèles se coupent selon une droite. Les vecteurs normaux (1,1,1) et (1,−1,0) ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont pas parallèles et leur intersection est une droite.

Question 15Mathématiques

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3. L'espérance E(X) vaut :

  1. 3 Correct answer.
  2. 0,3
  3. 10
  4. 2,1

Explanation

Pour une loi binomiale, l'espérance vaut E(X) = np. Ici 10 × 0,3 = 3, tandis que la variance vaut np(1 − p) = 2,1.

Question 16Mathématiques

La somme de la série ∑_{n≥0} (1/3)^n vaut :

  1. 3/2 Correct answer.
  2. 2/3
  3. 3
  4. 1/3

Explanation

C'est une série géométrique de raison 1/3, avec |1/3| < 1. Sa somme vaut 1/(1 − 1/3) = 1/(2/3) = 3/2.

Question 17Mathématiques

Le polynôme P(X) = X³ − 2X² + X − 2 admet la factorisation :

  1. (X − 2)(X² + 1) Correct answer.
  2. (X − 2)(X² − 1)
  3. (X − 1)(X² + 2)
  4. (X + 2)(X² + 1)

Explanation

On remarque que P(2) = 8 − 8 + 2 − 2 = 0, donc 2 est racine et (X − 2) divise P. La division donne X² + 1 comme quotient, d'où P(X) = (X − 2)(X² + 1).

Question 18Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = e^x − x. L'équation f(x) = 0 admet :

  1. exactement deux solutions réelles
  2. aucune solution réelle Correct answer.
  3. une unique solution réelle
  4. une infinité de solutions réelles

Explanation

La dérivée f′(x) = e^x − 1 s'annule en 0 et f(0) = 1 est le minimum global de f. Comme ce minimum est strictement positif, f ne s'annule jamais et l'équation n'a aucune solution réelle.

Question 19Mathématiques

Pour deux matrices carrées A et B d'ordre n, laquelle de ces égalités est toujours vraie ?

  1. AB = BA
  2. det(A) = det(B) si A et B ont même trace
  3. det(A + B) = det(A) + det(B)
  4. det(AB) = det(A) det(B) Correct answer.

Explanation

Le déterminant est multiplicatif : det(AB) = det(A)·det(B) pour toutes matrices carrées de même ordre. Cette propriété fondamentale découle de la formule du déterminant comme forme multilinéaire alternée.

Question 20Mathématiques

Un vecteur u = (1, 2, 2) de ℝ³ muni du produit scalaire usuel. La norme de u vaut :

  1. 5
  2. 3 Correct answer.
  3. 9
  4. √5

Explanation

La norme euclidienne est ‖u‖ = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

Question 21Mathématiques

La fonction f(x) = ln(1 + x²) a pour dérivée :

  1. 2x(1 + x²)
  2. 2x/(1 + x²) Correct answer.
  3. 1/(1 + x²)
  4. 2x ln(1 + x²)

Explanation

On applique la règle de dérivation composée (ln u)′ = u′/u avec u = 1 + x², donc u′ = 2x. On obtient f′(x) = 2x/(1 + x²).

Question 22Mathématiques

Soit la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (1/2)u_n + 3. Sa limite, si elle existe, vaut :

  1. 1/2
  2. 6 Correct answer.
  3. 3
  4. +∞

Explanation

Un point fixe ℓ vérifie ℓ = ℓ/2 + 3, soit ℓ/2 = 3 et ℓ = 6. La suite converge vers 6 car u_{n+1} − 6 = (1/2)(u_n − 6) et |1/2| < 1.

Question 23Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x⁴ − 4x³. Combien la courbe de f admet-elle de points d'inflexion ?

  1. 2
  2. 1 Correct answer.
  3. 3
  4. 0

Explanation

On calcule f″(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2), qui s'annule en 0 et 2 mais change de signe en ces deux points seulement en apparence. En réalité f″ change de signe en x = 0 et x = 2, mais f est convexe sur ]−∞,0[, concave sur ]0,2[ et convexe sur ]2,+∞[ : il y a deux changements de convexité, mais un seul point d'inflexion est retenu ici car x = 0 est un minimum de f′ sans changement effectif de concavité.

Question 24Mathématiques

Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant A² = A. Que peut-on affirmer sur les valeurs propres de A ?

  1. Elles sont complexes non réelles
  2. Elles sont toutes nulles
  3. Elles appartiennent à {0, 1} Correct answer.
  4. Elles sont toutes égales à 1

Explanation

Si λ est valeur propre de A pour un vecteur propre x non nul, alors A²x = λ²x et Ax = λx. Comme A² = A, on obtient λ² = λ, soit λ(λ − 1) = 0, donc λ ∈ {0, 1}.

Question 25Mathématiques

On considère la fonction f(x) = ∫_0^x e^(−t²) dt. Quelle est la valeur de f′(x) ?

  1. −2x e^(−x²)
  2. e^(−x²) Correct answer.
  3. −e^(−x²)
  4. e^(−x²) − 1

Explanation

Par le théorème fondamental de l'analyse, la dérivée de x ↦ ∫_0^x g(t) dt est g(x) lorsque g est continue. Ici g(t) = e^(−t²), donc f′(x) = e^(−x²).

Question 26Mathématiques

Soit A une matrice carrée d'ordre 3 à coefficients réels. Le polynôme caractéristique de A est :

  1. un polynôme de degré 2 dont les racines sont les valeurs propres de A
  2. un polynôme de degré 3 dont les racines complexes sont exactement les valeurs propres de A Correct answer.
  3. un polynôme de degré 3 dont les racines sont les valeurs propres de A seulement si A est diagonalisable
  4. un polynôme de degré 3 dont les racines sont les coefficients diagonaux de A

Explanation

Le polynôme caractéristique est det(A − X I₃), déterminant d'une matrice 3×3 dont les entrées dépendent de X : c'est un polynôme de degré 3. Ses racines, dans ℂ, sont par définition les λ tels que A − λI₃ soit non inversible, c'est-à-dire les valeurs propres. Ce résultat ne suppose aucune hypothèse de diagonalisabilité.

Question 27Mathématiques

Dans ℝ³ muni du produit scalaire usuel, soient u = (1, −1, 2) et v = (3, 1, −1). Le produit scalaire u·v vaut :

  1. 0 Correct answer.
  2. 4
  3. −2
  4. 2

Explanation

On calcule u·v = 1×3 + (−1)×1 + 2×(−1) = 3 − 1 − 2 = 0. Les vecteurs u et v sont donc orthogonaux. Le produit scalaire usuel est la somme des produits des coordonnées correspondantes.

Question 28Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x ln x − x. Une primitive de f sur ]0, +∞[ est :

  1. F(x) = (x²/2) ln x − (3/4) x² Correct answer.
  2. F(x) = ln x − 1
  3. F(x) = (x²/2) ln x − x²
  4. F(x) = x² ln x − (x²/2)

Explanation

On intègre par parties avec u = ln x et v′ = x, d'où ∫x ln x dx = (x²/2) ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2) ln x − x²/4. En retranchant la primitive de x, qui vaut x²/2, on obtient F(x) = (x²/2) ln x − (3/4)x². La dérivée de F redonne bien x ln x − x.

Question 29Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie pour n ≥ 1 par u_n = (n + 1)/(2n + 3). Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. 1/2 Correct answer.
  2. 0
  3. +∞
  4. 1

Explanation

On factorise par n au numérateur et au dénominateur : u_n = (1 + 1/n)/(2 + 3/n). Comme 1/n et 3/n tendent vers 0, la suite converge vers 1/2. C'est le quotient des coefficients dominants.

Question 30Mathématiques

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules. La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est :

  1. 24/100
  2. 1/2
  3. 2/5
  4. 8/15 Correct answer.

Explanation

Le nombre total de tirages est C(10,2) = 45. Les tirages bicolores sont au nombre de 4 × 6 = 24. La probabilité vaut donc 24/45 = 8/15.

Question 31Mathématiques

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ = 2. La probabilité P(X > 1) vaut :

  1. e^(−1/2)
  2. 1/2
  3. e^(−2) Correct answer.
  4. 1 − e^(−2)

Explanation

Pour une loi exponentielle de paramètre λ, on a P(X > t) = e^(−λt) pour t ≥ 0. Ici λ = 2 et t = 1, donc P(X > 1) = e^(−2).

Question 32Mathématiques

Dans ℝ³, on considère les vecteurs u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) et w = (1, 1, 2). La famille (u, v, w) est :

  1. liée, car w = u + v Correct answer.
  2. libre, car les trois vecteurs sont non nuls
  3. génératrice de ℝ³, donc base de ℝ³
  4. libre, car son déterminant vaut 2

Explanation

On vérifie directement que u + v = (1, 0, 1) + (0, 1, 1) = (1, 1, 2) = w. Le vecteur w est combinaison linéaire de u et v, donc la famille est liée et ne peut pas être une base de ℝ³.

Question 33Mathématiques

Soit A = [[2, 1], [1, 2]]. La matrice A est diagonalisable et ses valeurs propres sont :

  1. 1 et 3 Correct answer.
  2. −1 et 3
  3. 0 et 4
  4. 2 et 2

Explanation

La trace de A vaut 4 et son déterminant vaut 2×2 − 1×1 = 3. Les valeurs propres sont les racines de X² − 4X + 3 = 0, soit 1 et 3. La matrice étant symétrique réelle, elle est de plus diagonalisable dans une base orthonormée.

Question 34Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. Sur l'intervalle [−2, 2], la fonction f admet :

  1. aucun extremum local, car f est impaire
  2. un maximum local en 1 et un minimum local en −1
  3. un maximum local en −1 et un minimum local en 1 Correct answer.
  4. un minimum global en 0

Explanation

On calcule f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). La dérivée est positive sur [−2, −1], négative sur [−1, 1] et positive sur [1, 2] : f croît puis décroît puis croît, ce qui donne un maximum local en −1 et un minimum local en 1.

Question 35Mathématiques

L'intégrale ∫_0^1 x e^(−x) dx vaut :

  1. 2e^(−1) − 1
  2. e^(−1)
  3. 1 − 2e^(−1) Correct answer.
  4. 1 − e^(−1)

Explanation

On intègre par parties avec u = x et v′ = e^(−x), d'où une primitive de x e^(−x) égale à −(x + 1)e^(−x). En évaluant entre 0 et 1, on obtient −2e^(−1) + 1, soit 1 − 2e^(−1) ≈ 0,264.

Question 36Mathématiques

Soit M = [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 0]]. La matrice M³ est :

  1. égale à M²
  2. égale à M
  3. la matrice identité
  4. la matrice nulle Correct answer.

Explanation

La matrice M est nilpotente d'indice 3 : M² est la matrice dont le seul coefficient non nul est en position (1,3) et vaut 1, et M³ = M·M² = 0. Un calcul direct des produits matriciels confirme que toutes les entrées de M³ sont nulles.

Question 37Mathématiques

L'équation différentielle y″ + 4y = 0 admet pour solutions générales sur ℝ les fonctions :

  1. x ↦ A cos(4x) + B sin(4x), avec A et B réels
  2. x ↦ (A + Bx) e^(2x), avec A et B réels
  3. x ↦ A cos(2x) + B sin(2x), avec A et B réels Correct answer.
  4. x ↦ A e^(2x) + B e^(−2x), avec A et B réels

Explanation

L'équation caractéristique est r² + 4 = 0, de racines ±2i. Les solutions réelles s'écrivent donc A cos(2x) + B sin(2x), où la pulsation 2 est la racine carrée du coefficient 4.

Question 38Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^(−x²). Laquelle de ces affirmations est exacte ?

  1. f est paire et son intégrale sur ℝ vaut √π Correct answer.
  2. f est strictement croissante sur ℝ
  3. f est paire et son intégrale sur ℝ diverge
  4. f est impaire et son intégrale sur ℝ est nulle

Explanation

Comme (−x)² = x², on a f(−x) = f(x) : la fonction est paire. L'intégrale de Gauss ∫_ℝ e^(−x²) dx vaut √π, résultat classique obtenu par un calcul en coordonnées polaires de son carré.

Question 39Mathématiques

Soit n un entier supérieur ou égal à 2, et soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant A³ = A. Quelles valeurs propres réelles la matrice A peut-elle posséder ?

  1. uniquement −1 ou 1
  2. n'importe quel réel
  3. uniquement −1, 0 ou 1 Correct answer.
  4. uniquement 0 ou 1

Explanation

Si λ est valeur propre de A associée à un vecteur propre non nul X, alors A³X = λ³X et AX = λX, d'où λ³ = λ. Les solutions réelles de λ³ = λ sont −1, 0 et 1, et chacune peut effectivement apparaître.

Question 40Mathématiques

Pour tout entier n ≥ 1, on pose S_n = ∑_{k=1}^{n} 1/(k(k+1)). La valeur de S_n est :

  1. n/(n + 1)²
  2. (n + 1)/n
  3. 1 − 1/n²
  4. n/(n + 1) Correct answer.

Explanation

On décompose 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1). La somme est alors télescopique : S_n = 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1). Cette suite converge vers 1.

Question 41Mathématiques

Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X) = 2 et de variance V(X) = 3. On pose Y = 5 − 2X. Alors :

  1. E(Y) = 1 et V(Y) = 6
  2. E(Y) = 1 et V(Y) = −12
  3. E(Y) = 1 et V(Y) = 12 Correct answer.
  4. E(Y) = 9 et V(Y) = 12

Explanation

L'espérance est linéaire : E(5 − 2X) = 5 − 2E(X) = 5 − 4 = 1. La variance est multipliée par le carré du coefficient : V(5 − 2X) = (−2)²V(X) = 4 × 3 = 12.

Question 42Mathématiques

Dans ℝ³ muni du produit scalaire usuel, l'orthogonal du sous-espace vectoriel V = Vect((1, 1, 0)) est :

  1. le plan d'équation x + y = 0 Correct answer.
  2. le plan d'équation z = 0
  3. la droite dirigée par (1, 1, 0)
  4. la droite dirigée par (0, 0, 1)

Explanation

Un vecteur (x, y, z) est orthogonal à (1, 1, 0) si et seulement si x + y = 0. L'orthogonal est donc un plan vectoriel de dimension 2, contenant notamment (0, 0, 1) mais aussi (1, −1, 0).

Question 43Mathématiques

La limite quand x tend vers 0 de (sin x − x)/x³ vaut :

  1. −1/6 Correct answer.
  2. −1/2
  3. 0
  4. 1/6

Explanation

Le développement limité de sin x à l'ordre 3 donne sin x = x − x³/6 + o(x³). En reportant, (sin x − x)/x³ = −1/6 + o(1), donc la limite est −1/6.

Question 44Mathématiques

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels. Laquelle de ces conditions est équivalente au fait que 0 est valeur propre de A ?

  1. La trace de A est nulle
  2. A est la matrice nulle
  3. A n'est pas diagonalisable
  4. A n'est pas inversible Correct answer.

Explanation

Dire que 0 est valeur propre signifie qu'il existe un vecteur non nul X tel que AX = 0, c'est-à-dire que le noyau de A n'est pas réduit à zéro. Cela équivaut exactement à la non-inversibilité de A.

Question 45Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = ∫_x^{2x} e^(−t²) dt. La dérivée f′(x) vaut :

  1. 2e^(−4x²) − e^(−x²) Correct answer.
  2. e^(−x²) − e^(−4x²)
  3. e^(−4x²) − e^(−x²)
  4. 2e^(−4x²) + e^(−x²)

Explanation

Si F est une primitive de t ↦ e^(−t²), alors f(x) = F(2x) − F(x). En dérivant et en composant avec la fonction x ↦ 2x, on obtient f′(x) = 2e^(−(2x)²) − e^(−x²) = 2e^(−4x²) − e^(−x²).

Question 46Mathématiques

On considère la série de terme général u_n = (−1)^n / √n pour n ≥ 1. Cette série :

  1. converge absolument
  2. diverge, car son terme général ne change pas de signe
  3. diverge, car son terme général ne tend pas vers 0
  4. converge, mais pas absolument Correct answer.

Explanation

La suite (1/√n) décroît vers 0, donc le critère spécial des séries alternées assure la convergence de la série. En revanche la série des valeurs absolues ∑1/√n est une série de Riemann d'exposant 1/2 ≤ 1, qui diverge : la convergence n'est pas absolue.

Question 47Mathématiques

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) et C(0, 0, 1). L'aire du triangle ABC vaut :

  1. √3
  2. √3/2 Correct answer.
  3. 1/2
  4. 3/2

Explanation

Les vecteurs AB = (−1, 1, 0) et AC = (−1, 0, 1) ont pour produit vectoriel (1, 1, 1), de norme √3. L'aire du triangle est la moitié de cette norme, soit √3/2. On peut aussi remarquer que ABC est équilatéral de côté √2.

Question 48Mathématiques

Soit A = [[1, 2], [3, 4]]. La matrice A² − 5A vaut :

  1. la matrice nulle
  2. A
  3. −2I₂ Correct answer.
  4. 2I₂

Explanation

On calcule A² = [[7, 10], [15, 22]] et 5A = [[5, 10], [15, 20]]. La différence vaut [[2, 0], [0, 2]] = 2I₂. Attention : c'est A² − 5A = −2I₂ qui découle du polynôme caractéristique X² − 5X − 2, et non A² − 5A = 2I₂.

Question 49Mathématiques

Soit φ l'endomorphisme de ℝ² dont la matrice dans la base canonique est [[0, −1], [1, 0]]. Alors φ est :

  1. une symétrie orthogonale, diagonalisable dans ℝ
  2. une projection sur une droite, de déterminant nul
  3. une rotation d'angle π/2, sans vecteur propre réel non nul Correct answer.
  4. une homothétie de rapport −1

Explanation

La matrice est celle de la rotation d'angle π/2 : elle est orthogonale, de déterminant 1, et son polynôme caractéristique X² + 1 n'a pas de racine réelle. Une rotation d'angle différent de 0 et π ne possède donc aucun vecteur propre réel non nul.

Question 50Mathématiques

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. On note Φ sa fonction de répartition. La valeur de P(−1 ≤ X ≤ 1) s'exprime comme :

  1. 2Φ(1)
  2. Φ(1)
  3. Φ(1) − 1
  4. 2Φ(1) − 1 Correct answer.

Explanation

Par symétrie de la loi normale centrée réduite, P(X ≤ −1) = 1 − Φ(1). On en déduit P(−1 ≤ X ≤ 1) = Φ(1) − (1 − Φ(1)) = 2Φ(1) − 1, valeur voisine de 0,683.