Mathématiques - problème long et rigueur du calcul
L'épreuve de mathématiques de la Banque PT prend la forme d'un problème long (de l'ordre de quatre heures) bâti autour d'un objet unique - une suite, une fonction, une matrice - découpé en questions de difficulté croissante. Le programme est celui de PT : algèbre linéaire (réduction, déterminants, espaces euclidiens), analyse (séries, intégration, séries entières, séries de Fourier), équations différentielles linéaires, probabilités et géométrie. Ce qui est évalué n'est pas la culture mathématique mais la justesse des calculs, la rigueur des hypothèses et la capacité à réutiliser un résultat admis plus haut dans l'énoncé.
Les points de passage obligés
- Vérifier les hypothèses avant tout théorème : continuité et intégrabilité avant une intégration par parties, convergence avant d'intervertir somme et intégrale, caractère C1 avant de dériver une intégrale à paramètre.
- En algèbre, mener la réduction jusqu'au bout : polynôme caractéristique, sous-espaces propres, dimensions, puis contrôle par la trace et le déterminant.
- En séries de Fourier, exploiter la parité : fonction impaire ⇒ les a_n sont nuls, seuls subsistent les b_n ; le travail est divisé par deux et les erreurs de signe diminuent.
- Conclure chaque question par un contrôle de cohérence : ordre de grandeur, parité, limite aux bornes, cas n = 1.
Exemple rédigé
Soit f la fonction 2π-périodique impaire valant f(x) = x sur ]−π, π[. Calculer sa série de Fourier, puis en déduire la somme de la série de Leibniz.
Parité : a0 = 0 et a_n = 0 pour n ≥ 1. Pour n ≥ 1, b_n = (2/π)∫₀^π x sin(nx) dx. Une intégration par parties donne ∫ x sin(nx) dx = −x cos(nx)/n + sin(nx)/n². En π : −π cos(nπ)/n = −π(−1)^n/n ; en 0 : 0. Donc b_n = 2(−1)^{n+1}/n. Le théorème de Dirichlet s'applique, f étant C1 par morceaux : pour x ≠ π [π], f(x) = Σ b_n sin(nx). En x = π/2, point de continuité, on obtient π/2 = 2Σ (−1)^{n+1} sin(nπ/2)/n, d'où Σ (−1)^k/(2k+1) = π/4.
Les pièges qui coûtent des points
Appliquer un théorème sans citer ses hypothèses ; oublier la valeur moyenne aux points de discontinuité dans Dirichlet ; confondre convergence simple et convergence normale ; laisser traîner une constante d'intégration ; écrire « on voit que » là où une démonstration est attendue ; se tromper d'indice dans un changement de variable ; négliger le contrôle numérique final d'une question.