Pic et durée d’action d’un médicament
Un patient reçoit une dose unique d’un médicament. Une étude menée à l’hôpital Donka modélise la concentration plasmatique, en mg/L, par C(t)=3t e^{-t/2}, où t est le temps en heures après l’injection, pour 0≤t≤12. L’équipe soignante veut savoir quand la concentration dépasse 1 mg/L, seuil nécessaire pour maintenir l’effet thérapeutique. Un interne affirme que le pic est atteint au bout de 2 heures, avec une concentration maximale d’environ 2,2 mg/L, et que la concentration reste au-dessus de 1 mg/L pendant au moins 6 heures. La pharmacienne conteste la durée annoncée et demande une étude rigoureuse de la fonction C. On dispose d’une calculatrice autorisée, mais pas d’un logiciel de calcul formel.
1. Étudier les variations de C sur [0;12] et vérifier l’affirmation de l’interne sur le moment et la valeur du pic.
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On dérive C(t)=3t e^{-t/2}. En utilisant la formule du produit :
C'(t)=3e^{-t/2}+3t×(-1/2)e^{-t/2}=3e^{-t/2}(1-t/2).
Comme 3e^{-t/2}>0 pour tout t, le signe de C' est celui de 1-t/2. Donc C'(t)>0 pour t<2 et C'(t)<0 pour t>2. La fonction C est strictement croissante sur [0;2] puis strictement décroissante sur [2;12]. Le maximum est atteint en t=2 et vaut C(2)=6e^{-1}≈2,207 mg/L. L’affirmation sur le pic et sur la valeur maximale est donc correcte.
2. Justifier que l’équation C(t)=1 admet exactement deux solutions sur [0;12], puis encadrer la plus grande à 0,1 près.
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On a C(0)=0<1 et C(2)≈2,207>1. Sur [0;2], C est continue et strictement croissante : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation C(t)=1 admet une unique solution α dans [0;2].
De même, C(2)>1 et C(12)=36e^{-6}≈0,089<1. Sur [2;12], C est continue et strictement décroissante : l’équation admet une unique solution β dans [2;12]. Il y a donc exactement deux solutions.
Pour encadrer β, on calcule C(5,6)=16,8e^{-2,8}≈1,022>1 et C(5,7)=17,1e^{-2,85}≈0,989<1. Donc 5,6<β<5,7. On peut aussi vérifier que α est voisin de 0,41.
3. Calculer la durée pendant laquelle C(t)≥1 et conclure sur l’affirmation de l’interne.
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La concentration dépasse 1 mg/L entre les deux solutions α et β. On encadre α : C(0,40)=1,2e^{-0,2}≈0,983<1 et C(0,41)=1,23e^{-0,205}≈1,002>1, donc 0,40<α<0,41. La durée vérifie β-α≈5,65-0,41=5,24 heures, soit environ 5 h 15 min. Cette durée est inférieure à 6 heures. L’affirmation selon laquelle la concentration reste au-dessus de 1 mg/L pendant au moins 6 heures est donc fausse ; en revanche, attendre 6 heures avant de considérer que le seuil est redescendu est une précaution suffisante, mais non minimale.