Guinea Bac Math flashcards

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Nombre dérivé

Limite du taux d'accroissement (f(a+h)−f(a))/h quand h tend vers 0. Il représente la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur [a,b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un c dans [a,b] tel que f(c)=k.

Théorème de Rolle

Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0.

Dérivée d'une composée

Si g est dérivable en x et f dérivable en g(x), alors (f∘g)'(x) = g'(x)·f'(g(x)). Cette règle de chaîne permet de dériver les fonctions composées.

Limite de ln(x)/x

Quand x tend vers +∞, ln(x)/x tend vers 0. La puissance l'emporte sur le logarithme : ln x est négligeable devant x en +∞.

Dérivée de ln u

Si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors (ln u)' = u'/u. Cette formule sert à dériver les logarithmes de fonctions composées.

Réciprocité exp et ln

Pour tout réel y, ln(e^y)=y ; pour tout x>0, e^(ln x)=x. Les fonctions exp et ln sont bijections réciproques l'une de l'autre.

Forme exponentielle a^x

Pour a>0 et tout réel x, a^x = e^(x·ln a). Sa dérivée vaut a^x·ln a, ce qui généralise la dérivée de e^x au cas d'une base quelconque.

Théorème fondamental de l'intégrale

Si f est continue sur [a,b] et F une primitive de f, alors l'intégrale de a à b de f(x)dx vaut F(b)−F(a).

Intégration par parties

Pour u et v de classe C¹ : ∫ₐᵇ u'v = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ uv'. On choisit u' facile à intégrer et v dont la dérivée simplifie le produit.

Valeur moyenne d'une fonction

Sur [a,b], la valeur moyenne de f est (1/(b−a))·∫ₐᵇ f(x)dx. Si f est continue, elle est atteinte en au moins un point de l'intervalle.

Primitive de 1/x

Sur tout intervalle ne contenant pas 0, une primitive de 1/x est ln|x|. Sur ]0,+∞[, c'est ln x ; sur ]−∞,0[, c'est ln(−x).

Suite arithmétique

Suite définie par uₙ₊₁ = uₙ + r, donc uₙ = u₀ + n·r. La somme des n+1 premiers termes vaut (n+1)(u₀+uₙ)/2.

Convergence d'une suite géométrique

La suite qⁿ converge vers 0 si |q|<1, diverge vers +∞ si q>1, et n'a pas de limite si q≤−1. Pour q=1 elle est constante égale à 1.

Suite croissante majorée

Toute suite croissante et majorée converge vers une limite réelle. De même, toute suite décroissante et minorée converge. C'est le théorème de convergence monotone.

Point fixe d'une suite récurrente

Si uₙ₊₁ = f(uₙ), que (uₙ) converge vers L et que f est continue en L, alors f(L)=L. La limite est donc un point fixe de f.

Module d'un nombre complexe

Pour z = a+ib, le module est |z| = √(a²+b²). Il représente la distance entre l'origine et le point d'affixe z dans le plan complexe.

Formule de Moivre

Pour tout réel θ et tout entier n : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ). Elle découle de la forme exponentielle r·e^(iθ).

Argument d'un nombre complexe

L'argument de z≠0 est l'angle θ tel que z = |z|(cos θ + i sin θ). Il est défini modulo 2π et se note arg(z).

Racines n-ièmes de l'unité

Les solutions de zⁿ=1 sont les complexes e^(2ikπ/n) pour k=0,1,…,n−1. Elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.

Discriminant d'un trinôme

Pour ax²+bx+c, Δ = b²−4ac. Si Δ>0 deux racines réelles, si Δ=0 une racine double, si Δ<0 aucune racine réelle.

Signe d'un trinôme du second degré

Le trinôme ax²+bx+c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines, lorsque le discriminant est strictement positif.

Système linéaire et déterminant

Pour un système 2×2 de matrice [[a,b],[c,d]], le déterminant D=ad−bc. Si D≠0, la solution est unique ; si D=0, le système est incompatible ou indéterminé.

Équation avec valeur absolue

Pour k≥0, |X|=k équivaut à X=k ou X=−k. L'inéquation |X|<k équivaut à −k<X<k ; |X|>k donne X<−k ou X>k.

Produit scalaire et orthogonalité

Dans le plan, u·v = xx'+yy' = |u||v|cos θ. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Colinéarité de deux vecteurs

Les vecteurs u(x,y) et v(x',y') sont colinéaires si et seulement si xy'−yx'=0. Ce critère sert aussi à montrer que trois points sont alignés.

Équation cartésienne d'une droite

Toute droite du plan a une équation ax+by+c=0 avec (a,b)≠(0,0). Le vecteur (a,b) est normal à la droite et (−b,a) est un vecteur directeur.

Équation cartésienne d'un plan

Dans l'espace, un plan a une équation ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)≠(0,0,0). Le vecteur (a,b,c) est normal au plan.

Représentation paramétrique d'une droite

Une droite de l'espace passant par A(x₀,y₀,z₀) et de vecteur directeur (a,b,c) a pour équations x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct, avec t réel.

Probabilité conditionnelle

Pour P(B)>0, la probabilité de A sachant B est P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Les événements A et B sont indépendants si P(A∩B)=P(A)·P(B).

Loi binomiale

Pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)^(n−k). L'espérance vaut np et la variance np(1−p).

Division euclidienne

Pour tout entier a et tout entier b>0, il existe un unique couple (q,r) tel que a=bq+r avec 0≤r<b. q est le quotient et r le reste.