Plan d’épargne mensuel d’une coopérative
Une coopérative de Matam propose à ses membres un plan d’épargne. À l’ouverture, un membre dépose 500 000 GNF. Chaque mois, il ajoute 25 000 GNF et la coopérative applique un intérêt de 1,5 % sur le solde déjà présent, avant d’enregistrer le nouveau versement. On note u_n le solde, en GNF, après n mois, avec u_0=500 000. La coopérative affirme que le plan permet d’atteindre 2 000 000 GNF en moins de deux ans. Un membre affirme au contraire que, comme les versements sont fixes, le solde finira par se stabiliser autour d’une valeur finie. Le trésorier demande de trancher à partir de la suite (u_n), de son sens de variation et de son comportement à long terme. Les frais de dossier sont nuls et la durée d’observation est de 36 mois.
1. Justifier la relation u_{n+1}=1,015u_n+25 000, puis montrer que la suite (u_n) est croissante et positive.
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Le solde du mois n est u_n. La coopérative applique d’abord 1,5 % sur ce solde, ce qui donne 1,015u_n, puis ajoute le versement de 25 000 GNF. Donc u_{n+1}=1,015u_n+25 000.
On calcule u_{n+1}-u_n=0,015u_n+25 000. Si u_n>0, cette différence est strictement positive. Or u_0=500 000>0 et la relation de récurrence conserve la positivité : si u_n>0, alors 1,015u_n+25 000>0. Par récurrence, tous les termes sont positifs. Par conséquent, u_{n+1}-u_n>0 pour tout n : la suite est strictement croissante.
2. Déterminer une expression explicite de u_n en fonction de n.
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On cherche un point fixe α tel que α=1,015α+25 000. Cela donne -0,015α=25 000, soit α=-25 000/0,015=-5 000 000/3≈-1 666 667. Posons v_n=u_n-α=u_n+5 000 000/3. Alors :
v_{n+1}=u_{n+1}+5 000 000/3=1,015u_n+25 000+5 000 000/3.
Comme 25 000+5 000 000/3=5 075 000/3 et que 1,015×5 000 000/3=5 075 000/3, on obtient v_{n+1}=1,015v_n. La suite (v_n) est géométrique de raison 1,015. Donc v_n=1,015^n v_0, avec v_0=500 000+5 000 000/3=6 500 000/3. Finalement :
u_n=-5 000 000/3+(6 500 000/3)×1,015^n.
3. Les deux affirmations sont-elles vraies ? Déterminer au bout de combien de mois le solde atteint 2 000 000 GNF.
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Calculons u_24 et u_36. On a 1,015^24≈1,4295, donc u_24≈-1 666 667+2 166 667×1,4295≈1 430 600 GNF. Le seuil de 2 000 000 GNF n’est pas atteint en 24 mois : l’affirmation de la coopérative est fausse.
On résout u_n≥2 000 000 :
(6 500 000/3)×1,015^n≥2 000 000+5 000 000/3=11 000 000/3,
soit 1,015^n≥11/6,5≈1,6923. Donc n≥ln(1,6923)/ln(1,015)≈35,3. Le seuil est atteint pour n=36, soit 3 ans. La seconde affirmation est également fausse : le point fixe trouvé est négatif et n’a pas de sens financier. Comme 1,015>1 et que le coefficient de 1,015^n est positif, u_n tend vers +∞ ; le solde ne se stabilise pas vers une valeur finie.