Dépistage, prévalence et valeur prédictive
Dans un centre de santé de Kankan, on évalue un test rapide de dépistage d’une infection. La prévalence dans la population consultante est de 8 %. Chez les personnes infectées, le test est positif dans 92 % des cas. Chez les personnes non infectées, il est négatif dans 85 % des cas. Un patient pris au hasard dans cette population vient d’obtenir un résultat positif. Le médecin lui annonce qu’il a « environ 92 % de chances d’être infecté », en s’appuyant sur la sensibilité du test. Une infirmière soutient que ce chiffre est trompeur et propose de calculer la probabilité réelle à partir de la prévalence. Le centre envisage aussi de confirmer par un second test indépendant, de mêmes caractéristiques. On souhaite savoir si un double positif suffit à considérer le patient comme très probablement infecté.
1. Calculer la probabilité qu’un patient pris au hasard soit positif, puis la probabilité qu’il soit infecté sachant que le test est positif. Conclure sur l’annonce du médecin.
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Notons M l’événement « patient infecté » et T+ l’événement « test positif ». On a P(M)=0,08, P(T+|M)=0,92 et P(non M)=0,92. La spécificité est 0,85, donc P(T+|non M)=0,15.
D’après la formule des probabilités totales :
P(T+)=0,08×0,92+0,92×0,15=0,0736+0,138=0,2116.
Puis P(M|T+)=P(M∩T+)/P(T+)=0,0736/0,2116≈0,348.
Un patient positif n’a donc qu’environ 34,8 % de chances d’être infecté, et non 92 %. Le médecin confond la sensibilité du test avec la valeur prédictive positive, qui dépend fortement de la prévalence.
2. Le patient fait un second test indépendant, également positif. Calculer la nouvelle probabilité d’infection et commenter.
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On conditionne maintenant par le premier résultat positif : la probabilité d’infection devient environ 0,348, celle de ne pas être infecté environ 0,652. Avec un second test indépendant, conditionnellement au statut de la personne :
P(M|deux positifs)=[0,08×0,92²]/[0,08×0,92²+0,92×0,15²].
Le numérateur vaut 0,08×0,8464=0,0677. Le terme des non-infectés vaut 0,92×0,0225=0,0207. Donc :
P(M|deux positifs)=0,0677/(0,0677+0,0207)≈0,766.
Après deux tests positifs indépendants, la probabilité d’infection est d’environ 76,6 %. C’est beaucoup plus élevé qu’après un seul test, mais cela ne justifie pas encore de parler de quasi-certitude ; un test de confirmation plus spécifique reste utile.
3. Le centre veut dépasser 90 % de probabilité d’infection après un seul test positif. Quelle sensibilité faudrait-il, à spécificité 85 % et prévalence 8 % ? Est-ce réalisable ?
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Soit s la sensibilité cherchée. La valeur prédictive positive s’écrit :
VPP=0,08s/[0,08s+0,92×0,15]=0,08s/(0,08s+0,138).
On impose VPP≥0,9 :
0,08s≥0,9(0,08s+0,138) 0,08s≥0,072s+0,1242 0,008s≥0,1242 s≥15,525.
Une sensibilité supérieure à 1 est impossible. Même avec une sensibilité parfaite de 100 %, la VPP vaudrait 0,08/(0,08+0,138)≈0,367. Avec cette prévalence de 8 % et une spécificité de 85 %, aucun test unique ne peut atteindre 90 % de valeur prédictive positive. Il faudrait améliorer la spécificité, tester une population plus ciblée ou recourir à deux tests.