Tétraèdre, distance de perçage et point de contrôle
Un atelier de mécanique de Kindia doit percer une pièce métallique assimilée à un tétraèdre ABCD. Dans un repère orthonormé d’unité le centimètre, on a A(0;0;0), B(3;0;0), C(0;4;0) et D(0;0;2). La face BCD doit recevoir un perçage perpendiculaire, dont le point de départ est le sommet A. Le contremaître veut connaître la distance exacte entre A et le plan (BCD), car l’épaisseur de la pièce à cet endroit détermine la longueur du foret. Il affirme que cette distance vaut 2 cm, car D est à 2 cm du plan (ABC). Il se demande aussi si le point E(1;1;1), matérialisé par un repère de contrôle, se trouve à l’intérieur du tétraèdre ou à l’extérieur. Enfin, il veut vérifier que le volume calculé par la formule du déterminant coïncide avec celui obtenu à partir de l’aire de la base ABC et de la hauteur issue de D.
1. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD), puis calculer la distance de A à ce plan. L’affirmation du contremaître est-elle correcte ?
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Le plan (BCD) n’est pas parallèle à un axe. On cherche une équation ax+by+cz=d. En écrivant que B, C et D appartiennent au plan :
B(3;0;0) donne 3a=d ; C(0;4;0) donne 4b=d ; D(0;0;2) donne 2c=d.
En choisissant d=12, on obtient a=4, b=3, c=6. Une équation est donc 4x+3y+6z=12, ou encore 4x+3y+6z-12=0. On vérifie : B donne 12, C donne 12, D donne 12.
La distance de A(0;0;0) au plan est :
d=|4×0+3×0+6×0-12|/√(4²+3²+6²)=12/√61≈1,537 cm.
Elle vaut environ 1,54 cm, et non 2 cm. Le contremaître confond la hauteur issue de D avec la distance de A au plan (BCD).
2. Le point E(1;1;1) est-il à l’intérieur du tétraèdre ABCD ? Justifier.
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Pour un tétraèdre, un point est intérieur s’il est du même côté que le sommet opposé par rapport à chaque face. Testons la face (BCD), d’équation 4x+3y+6z-12=0. Pour A, on obtient 4×0+3×0+6×0-12=-12<0. Pour E, on obtient 4+3+6-12=1>0. Les valeurs sont de signes contraires : E n’est pas du même côté que A par rapport au plan (BCD). Il suffit qu’une condition échoue pour conclure que E est extérieur au tétraèdre. Plus précisément, E se trouve au-delà de la face BCD, du côté opposé à A.
3. Calculer le volume du tétraèdre de deux façons : par le déterminant et par la formule base-hauteur. Vérifier la cohérence des résultats.
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Avec les vecteurs AB=(3;0;0), AC=(0;4;0) et AD=(0;0;2), le déterminant est le produit des termes diagonaux : 3×4×2=24. Le volume vaut donc :
V=(1/6)|det(AB,AC,AD)|=24/6=4 cm³.
Autre méthode : la base ABC est le triangle rectangle en A d’aire (3×4)/2=6 cm². La hauteur issue de D est la distance de D au plan (ABC), c’est-à-dire 2 cm, car D a pour cote 2. Donc :
V=(1/3)×aire(ABC)×hauteur=(1/3)×6×2=4 cm³.
Les deux méthodes donnent bien 4 cm³.