Codes d’examen et clé de contrôle modulo 13
Le service des examens du Baccalauréat de la région de Nzérékoré attribue à chaque candidat un code de la forme LLDDC, où L est une lettre choisie parmi A, B, C, D, D est un chiffre de 0 à 9 et C est un chiffre de contrôle. Les deux lettres doivent être différentes et les deux premiers chiffres doivent être différents. La clé C est l’unique chiffre de 0 à 9 qui vérifie la congruence 7C ≡ 4 (mod 13). Un agent affirme qu’il y a 4×4×10×10=1 600 codes possibles, car chaque position est indépendante. La responsable informatique pense au contraire qu’il faut tenir compte des répétitions interdites et de la clé imposée. Elle veut aussi savoir combien de codes contiennent au moins une voyelle, sachant que, parmi les lettres autorisées, seule A est une voyelle. Enfin, elle se demande si la clé C est toujours définie de façon unique.
1. Résoudre la congruence 7C ≡ 4 (mod 13) et déterminer la clé C. La clé est-elle toujours unique ?
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On cherche l’inverse de 7 modulo 13. Or 7×2=14≡1 (mod 13), donc l’inverse de 7 est 2. En multipliant les deux membres de 7C≡4 par 2 :
C≡8 (mod 13).
Les solutions sont les entiers de la forme 8+13k. Le seul chiffre compris entre 0 et 9 est C=8. La clé est donc unique : comme 7 et 13 sont premiers entre eux, la congruence admet une unique solution modulo 13, donc au plus un chiffre entre 0 et 9.
2. Calculer le nombre total de codes possibles. L’affirmation de l’agent est-elle correcte ?
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Il y a 4 choix pour la première lettre, puis 3 pour la seconde puisqu’elles doivent être différentes : 4×3=12 couples de lettres. Pour les deux premiers chiffres, il y a 10 choix pour le premier et 9 pour le second, soit 10×9=90 couples. La clé C est ensuite imposée et vaut toujours 8. Le nombre total de codes est donc :
12×90=1 080.
L’agent trouve 1 600 parce qu’il autorise des répétitions de lettres et de chiffres et parce qu’il traite la clé comme une position libre. Son décompte surestime le nombre réel de codes.
3. Calculer le nombre de codes contenant au moins une voyelle.
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Parmi les lettres autorisées, seule A est une voyelle. Comptons les codes qui contiennent A au moins une fois. Avec A en première position, la seconde lettre peut être B, C ou D : 3 choix. Avec A en seconde position, la première lettre peut être B, C ou D : 3 choix. Ces deux cas sont disjoints, car les deux lettres doivent être différentes. Il y a donc 6 couples de lettres contenant au moins une fois A.
Pour chaque couple, les deux chiffres distincts donnent 10×9=90 possibilités, et la clé reste C=8. Le nombre cherché est :
6×90=540 codes.