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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la limite de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (3x² − 5x + 2)/(x² + 1) lorsque x tend vers +∞ ?

  1. 3 Correct answer.
  2. 0
  3. 1
  4. +∞

Explanation

Pour une fonction rationnelle, la limite en +∞ est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur : ici 3x²/x² = 3. Le dénominateur ne s'annule pas sur ℝ, la fonction est donc définie partout et sa limite est bien finie.

Question 2Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = |x| est-elle continue et dérivable en 0 ?

  1. Non continue en 0
  2. Dérivable en 0 avec f′(0) = 1
  3. Continue et dérivable en 0
  4. Continue en 0 mais non dérivable en 0 Correct answer.

Explanation

La valeur absolue est continue en 0 car |x| tend vers 0 quand x tend vers 0. En revanche, le taux d'accroissement (|x| − 0)/x vaut 1 pour x > 0 et −1 pour x < 0 : il n'a pas de limite finie en 0, donc f n'est pas dérivable en 0 (point anguleux).

Question 3Analyse : limites, continuité et dérivation

Quel est le nombre dérivé en x = 2 de la fonction f définie par f(x) = x³ − 4x ?

  1. 8 Correct answer.
  2. 12
  3. 2
  4. 4

Explanation

On dérive terme à terme : f′(x) = 3x² − 4. En remplaçant x par 2, on obtient f′(2) = 3 × 4 − 4 = 8. Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.

Question 4Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x² + 2x + 3 admet pour dérivée :

  1. f′(x) = x + 2
  2. f′(x) = 2x² + 2
  3. f′(x) = 2x + 2 Correct answer.
  4. f′(x) = 2x + 3

Explanation

La dérivée de x² est 2x, celle de 2x est 2 et celle de la constante 3 est 0. On additionne ces dérivées pour obtenir f′(x) = 2x + 2, la constante disparaissant par dérivation.

Question 5Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la limite de f(x) = (x + 1)/(x − 2) lorsque x tend vers 2 par valeurs supérieures ?

  1. −∞
  2. +∞ Correct answer.
  3. 1
  4. 0

Explanation

Quand x tend vers 2⁺, le numérateur x + 1 tend vers 3 > 0 et le dénominateur x − 2 tend vers 0⁺. Le quotient d'un nombre positif par un infiniment petit positif tend vers +∞ : la droite x = 2 est asymptote verticale.

Question 6Analyse : limites, continuité et dérivation

Si f est dérivable sur un intervalle I et si f′ est strictement positive sur I, alors sur I la fonction f est :

  1. Strictement croissante Correct answer.
  2. Strictement décroissante
  3. Constante
  4. Non monotone

Explanation

Le signe de la dérivée détermine le sens de variation : une dérivée strictement positive sur un intervalle signifie que la fonction est strictement croissante sur cet intervalle. C'est une conséquence du théorème des accroissements finis.

Question 7Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la limite en +∞ de la fonction f(x) = (2x + 5)/(x² + 1) ?

  1. +∞
  2. 0 Correct answer.
  3. 2
  4. 5

Explanation

Le degré du dénominateur (2) est supérieur à celui du numérateur (1). En factorisant par x², le quotient s'écrit (2/x + 5/x²)/(1 + 1/x²), qui tend vers 0/1 = 0 quand x tend vers +∞.

Question 8Analyse : limites, continuité et dérivation

Le taux d'accroissement de f en a est défini par :

  1. (f(a + h) − f(a))/h Correct answer.
  2. (f(a + h) + f(a))/h
  3. (f(h) − f(a))/a
  4. f(a + h) − f(a)

Explanation

Le taux d'accroissement entre a et a + h est le quotient de la variation de f par la variation de la variable : (f(a + h) − f(a))/h. Sa limite quand h tend vers 0, si elle existe, est le nombre dérivé f′(a).

Question 9Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f(x) = x³ − 3x. Sur quel intervalle f est-elle croissante ?

  1. Sur ℝ tout entier
  2. Sur ]−∞ ; −1] et sur [1 ; +∞[ Correct answer.
  3. Sur [−1 ; 1]
  4. Sur [0 ; +∞[ seulement

Explanation

On calcule f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Cette dérivée est positive à l'extérieur des racines −1 et 1, donc f est croissante sur ]−∞ ; −1] et sur [1 ; +∞[, et décroissante entre ces valeurs.

Question 10Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f définie par f(x) = (x² − 1)/(x − 1) pour x ≠ 1 peut être prolongée par continuité en 1 en posant f(1) égal à :

  1. 1
  2. 2 Correct answer.
  3. La fonction ne peut pas être prolongée
  4. 0

Explanation

Pour x ≠ 1, on factorise x² − 1 = (x − 1)(x + 1), donc f(x) = x + 1. La limite en 1 vaut alors 2, et poser f(1) = 2 rend la fonction continue en 1 : c'est un prolongement par continuité.

Question 11Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² en x = 3 ?

  1. y = 9x − 18
  2. y = 6x − 9 Correct answer.
  3. y = 6x + 9
  4. y = 3x − 9

Explanation

On a f(3) = 9 et f′(x) = 2x, donc f′(3) = 6. La tangente a pour équation y = f′(3)(x − 3) + f(3) = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9.

Question 12Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x⁴ − 2x² admet combien d'extrema locaux ?

  1. Quatre extrema
  2. Deux minima seulement
  3. Trois : deux minima et un maximum Correct answer.
  4. Un seul minimum

Explanation

f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1) s'annule en −1, 0 et 1. La dérivée change de signe en chacun de ces points : f présente un minimum en −1 et en 1, et un maximum local en 0.

Question 13Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la limite en 0 de f(x) = (sin x)/x ?

  1. +∞
  2. 1 Correct answer.
  3. 0
  4. La limite n'existe pas

Explanation

C'est une limite de référence : le taux d'accroissement de sin en 0 vaut (sin x − sin 0)/(x − 0) = (sin x)/x, et comme sin est dérivable en 0 de dérivée cos 0 = 1, la limite cherchée vaut 1.

Question 14Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 2] telle que f(0) = −1 et f(2) = 3. Que peut-on affirmer ?

  1. f est strictement croissante sur [0 ; 2]
  2. f′(x) = 2 pour tout x de ]0 ; 2[
  3. Il existe c dans ]0 ; 2[ tel que f′(c) = 2 Correct answer.
  4. f′(0) = 2 et f′(2) = 2

Explanation

Le théorème des accroissements finis s'applique car f est dérivable sur [0 ; 2]. Le taux de variation (f(2) − f(0))/(2 − 0) = 4/2 = 2 est donc égal à f′(c) pour au moins un c de ]0 ; 2[.

Question 15Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f(x) = (2x − 1)/(x + 3) admet pour dérivée :

  1. −7/(x + 3)²
  2. 7/(x + 3)² Correct answer.
  3. 2/(x + 3)²
  4. (2x − 1)/(x + 3)²

Explanation

On applique la formule du quotient (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² avec u = 2x − 1 et v = x + 3. On obtient (2(x + 3) − (2x − 1))/(x + 3)² = 7/(x + 3)², qui est bien positive sur chaque intervalle du domaine.

Question 16Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ + x est :

  1. Bijective de ℝ vers ℝ Correct answer.
  2. Non continue en 0
  3. Croissante puis décroissante
  4. Constante sur [−1 ; 1]

Explanation

Sa dérivée f′(x) = 3x² + 1 est strictement positive sur ℝ, donc f est strictement croissante. Étant de plus continue et de limites −∞ et +∞ aux bornes, elle réalise une bijection de ℝ sur ℝ.

Question 17Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la limite en +∞ de f(x) = √(x² + 3x) − x ?

  1. +∞
  2. 1
  3. 0
  4. 3/2 Correct answer.

Explanation

On multiplie par l'expression conjuguée : f(x) = (3x)/(√(x² + 3x) + x). En factorisant x au dénominateur, f(x) = 3/(√(1 + 3/x) + 1), qui tend vers 3/2 quand x tend vers +∞.

Question 18Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction continue sur [0 ; 1] telle que f(0) = −2 et f(1) = 5. Que peut-on affirmer ?

  1. f(x) > 0 pour tout x de [0 ; 1]
  2. L'équation f(x) = 0 admet exactement une solution dans ]0 ; 1[
  3. f n'est pas dérivable sur ]0 ; 1[
  4. L'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]0 ; 1[ Correct answer.

Explanation

Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique : f est continue et 0 est compris entre f(0) = −2 et f(1) = 5. Il existe donc au moins un réel c de ]0 ; 1[ tel que f(c) = 0.

Question 19Analyse : limites, continuité et dérivation

La dérivée de f(x) = x√x, pour x > 0, est :

  1. (1/2)√x
  2. (3/2)x√x
  3. (3/2)√x Correct answer.
  4. √x

Explanation

On écrit f(x) = x × x^(1/2) = x^(3/2). La dérivée d'un monôme x^n est n·x^(n−1), donc f′(x) = (3/2)x^(1/2) = (3/2)√x, résultat aussi obtenu par la règle du produit.

Question 20Analyse : limites, continuité et dérivation

La courbe de f(x) = (x + 1)/(x − 1) admet pour asymptotes :

  1. La droite x = 1 et la droite y = 1 Correct answer.
  2. La droite y = 1 seulement
  3. La droite x = 1 seulement
  4. La droite x = −1 et la droite y = 1

Explanation

En x = 1, le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 0 : la limite est infinie, d'où une asymptote verticale x = 1. En ±∞, le quotient tend vers le rapport des coefficients de degré 1, soit 1 : la droite y = 1 est asymptote horizontale.

Question 21Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f(x) = x³ − 3x² + 3x − 1. Quelle est la nature du point d'abscisse 1 ?

  1. Point de discontinuité
  2. Maximum local
  3. Point d'inflexion avec tangente horizontale Correct answer.
  4. Minimum local

Explanation

On remarque que f(x) = (x − 1)³. Alors f′(x) = 3(x − 1)² ≥ 0 et f″(x) = 6(x − 1) change de signe en 1. La dérivée s'annule sans changer de signe : il s'agit d'un point d'inflexion à tangente horizontale, pas d'un extremum.

Question 22Analyse : limites, continuité et dérivation

On pose f(x) = (x² + ax + b)/(x − 1). Quelles valeurs de a et b rendent f prolongeable par continuité en 1 ?

  1. a = −2 et b = 1 Correct answer.
  2. a = −1 et b = 2
  3. a = 0 et b = 0
  4. a = 2 et b = 1

Explanation

Pour que le quotient admette une limite finie quand x tend vers 1, il faut que le numérateur s'annule en 1 : 1 + a + b = 0. Avec a = −2 et b = 1, le numérateur vaut x² − 2x + 1 = (x − 1)², donc f(x) = x − 1 pour x ≠ 1 et la limite en 1 vaut 0.

Question 23Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f dérivable sur ℝ avec f′(x) = (x − 2)²(x + 1). Que peut-on dire du point d'abscisse 2 ?

  1. La fonction n'est pas dérivable en 2
  2. La dérivée ne change pas de signe : pas d'extremum en 2 Correct answer.
  3. C'est un maximum local
  4. C'est un minimum local

Explanation

Le facteur (x − 2)² est toujours positif ou nul et (x + 1) est positif au voisinage de 2. La dérivée reste donc positive de part et d'autre de 2 : elle s'annule sans changer de signe, ce qui exclut un extremum (la fonction est simplement stationnaire en 2).

Question 24Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la limite en 0⁺ de f(x) = x ln x ?

  1. 1
  2. +∞
  3. 0 Correct answer.
  4. −∞

Explanation

On écrit x ln x = ln x / (1/x). Le numérateur tend vers −∞ et le dénominateur vers +∞ : c'est une forme indéterminée. La croissance comparée du logarithme et de la puissance l'emporte, et la limite vaut 0, ce qui permet de prolonger f par continuité en 0.

Question 25Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f continue sur [0 ; 3], dérivable sur ]0 ; 3[, avec f(0) = f(3) = 1. Que peut-on affirmer ?

  1. f est constante sur [0 ; 3]
  2. f′(x) = 0 pour tout x de ]0 ; 3[
  3. f admet un minimum strictement négatif
  4. Il existe c dans ]0 ; 3[ tel que f′(c) = 0 Correct answer.

Explanation

Les hypothèses sont celles du théorème de Rolle : f est continue sur le segment, dérivable à l'intérieur et prend la même valeur aux bornes. Il existe donc au moins un point c de ]0 ; 3[ où la dérivée s'annule, c'est-à-dire une tangente horizontale.

Question 26Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (x² + 3x + 2)/(x + 1) pour x ≠ −1. Quelle valeur faut-il donner à f(−1) pour que f soit prolongeable par continuité en −1 ?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. −1 Correct answer.

Explanation

Pour x ≠ −1, le numérateur se factorise : x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2). Le quotient vaut donc x + 2, dont la limite en −1 est 1. Le prolongement par continuité impose f(−1) = 1.

Question 27Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x² + 2x − 3. Quelle est la valeur du nombre dérivé f′(−2) ?

  1. 2
  2. −6
  3. −2 Correct answer.
  4. 0

Explanation

La dérivée de f est f′(x) = 2x + 2. En remplaçant x par −2, on obtient f′(−2) = 2(−2) + 2 = −2. Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse −2.

Question 28Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction définie sur ℝ. Quelle écriture traduit correctement que f est continue en un réel a ?

  1. lim(x→a) f(x) = 0
  2. lim(x→a) f(x) = +∞
  3. f′(a) existe
  4. lim(x→a) f(x) = f(a) Correct answer.

Explanation

La continuité en a signifie que la limite de f en a existe et qu'elle est égale à la valeur de la fonction en ce point. Autrement dit, lim(x→a) f(x) = f(a). Cette condition n'exige aucune dérivabilité.

Question 29Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = (ln x)/x. Quelle est la limite de f en +∞ ?

  1. e
  2. 0 Correct answer.
  3. +∞
  4. 1

Explanation

La fonction ln croît plus lentement que toute puissance de x, donc ln x / x tend vers 0 quand x tend vers +∞. Le quotient d'une fonction qui tend vers +∞ par x tend vers +∞ est dominé par le dénominateur. La limite est donc 0.

Question 30Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction dérivable sur ℝ dont la dérivée f′ est donnée par f′(x) = (x − 1)(x + 3). Quel est le sens de variation de f sur l'intervalle ]−3 ; 1[ ?

  1. f change de sens en 0 dans ]−3 ; 1[
  2. f est croissante sur ]−3 ; 1[
  3. f est constante sur ]−3 ; 1[
  4. f est décroissante sur ]−3 ; 1[ Correct answer.

Explanation

Sur ]−3 ; 1[, le facteur x − 1 est négatif et le facteur x + 3 est positif. Le produit f′(x) est donc négatif sur tout cet intervalle. Une dérivée strictement négative sur un intervalle y signifie que f y est strictement décroissante.

Question 31Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 6x² + 9x. Combien la courbe de f admet-elle de tangentes horizontales ?

  1. Trois
  2. Deux Correct answer.
  3. Aucune
  4. Une seule

Explanation

Une tangente horizontale correspond à f′(x) = 0. Ici f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), qui s'annule en x = 1 et x = 3. Il y a donc deux abscisses donnant une tangente horizontale.

Question 32Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction dérivable sur ℝ. Laquelle de ces conditions suffit à garantir que f admet un extremum local en un réel a ?

  1. f′(a) = 0 et f′ change de signe en a Correct answer.
  2. f′(a) = 0
  3. f′ est continue en a
  4. f(a) = 0

Explanation

L'annulation de la dérivée en a est nécessaire mais pas suffisante : il faut en plus un changement de signe de f′ de part et d'autre de a. C'est ce changement de signe qui traduit l'inversion du sens de variation et donc l'extremum local.

Question 33Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x² + 1)/(x² + 2). Quelle est la limite de f en −∞ ?

  1. 0
  2. +∞
  3. −∞
  4. 1 Correct answer.

Explanation

On divise numérateur et dénominateur par x² : f(x) = (1 + 1/x²)/(1 + 2/x²). Quand x tend vers −∞, les termes en 1/x² tendent vers 0, et le quotient tend vers 1/1 = 1. Le résultat est le même en +∞.

Question 34Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction définie sur [0 ; 1] et dérivable sur ]0 ; 1[. On sait que f(0) = 2 et que f′(x) ≤ 0 pour tout x de ]0 ; 1[. Que peut-on affirmer sur f(1) ?

  1. f(1) = 2
  2. f(1) ≤ 2 Correct answer.
  3. f(1) > 2
  4. f(1) ≥ 2

Explanation

Une dérivée négative ou nulle sur ]0 ; 1[ signifie que f est décroissante sur [0 ; 1]. Comme f(0) = 2, on a f(1) ≤ f(0), soit f(1) ≤ 2. L'égalité n'est possible que si f est constante.

Question 35Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2. Quel est le centre de symétrie de sa courbe représentative ?

  1. Le point de coordonnées (−1 ; 1) Correct answer.
  2. Le point de coordonnées (1 ; 9)
  3. Le point de coordonnées (−1 ; 0)
  4. Le point de coordonnées (0 ; 2)

Explanation

On remarque que x³ + 3x² + 3x + 2 = (x + 1)³ + 1. La courbe de g(x) = x³ est symétrique par rapport à l'origine ; la translation de vecteur (−1 ; 1) transforme cette origine en (−1 ; 1), qui est donc centre de symétrie de la courbe de f.

Question 36Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction dérivable sur ℝ. On suppose que f′ est strictement croissante sur ℝ. Quelle est la nature de la courbe de f sur ℝ ?

  1. La courbe présente deux asymptotes
  2. La courbe est concave sur ℝ
  3. La courbe est une droite
  4. La courbe est convexe sur ℝ Correct answer.

Explanation

La convexité d'une courbe est liée à la croissance de la dérivée : si f′ est strictement croissante, alors f est strictement convexe. La courbe est donc convexe sur ℝ, au-dessus de ses tangentes.

Question 37Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la valeur de ln(1) ?

  1. e
  2. Non défini
  3. 1
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Le logarithme népérien ln(x) est l'exposant qu'il faut donner à e pour obtenir x. Comme e^0 = 1, on a ln(1) = 0. Cette valeur est une identité de base à connaître.

Question 38Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la valeur de e^0 ?

  1. Non défini
  2. 1 Correct answer.
  3. e
  4. 0

Explanation

Toute exponentielle de base strictement positive élevée à la puissance 0 vaut 1. En particulier e^0 = 1. C'est une propriété fondamentale de la fonction exponentielle.

Question 39Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quel est l'ensemble de définition de la fonction f(x) = ln(x - 3) ?

  1. ]-∞ ; 3[
  2. R
  3. [3 ; +∞[
  4. ]3 ; +∞[ Correct answer.

Explanation

Le logarithme népérien n'est défini que pour un argument strictement positif. Il faut donc x - 3 > 0, soit x > 3. L'ensemble de définition est l'intervalle ouvert ]3 ; +∞[.

Question 40Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = e^(2x) ?

  1. 2e^(2x) Correct answer.
  2. e^(2x)
  3. e^(2x)/2
  4. 2xe^(2x)

Explanation

La dérivée de e^(u(x)) est u'(x)·e^(u(x)). Ici u(x) = 2x, donc u'(x) = 2 et f'(x) = 2e^(2x). Le facteur 2 provient de la dérivée de l'exposant.

Question 41Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Simplifier ln(a) + ln(b) pour a > 0 et b > 0.

  1. ln(a·b) Correct answer.
  2. ln(a)^ln(b)
  3. ln(a + b)
  4. ln(a/b)

Explanation

La somme de deux logarithmes de même base est le logarithme du produit des arguments. Ainsi ln(a) + ln(b) = ln(a·b). C'est la propriété fondamentale de transformation des logarithmes.

Question 42Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quel est le signe de ln(x) pour 0 < x < 1 ?

  1. Négatif Correct answer.
  2. Nul
  3. Cela dépend de x
  4. Positif

Explanation

La fonction ln est strictement croissante et s'annule en 1. Pour tout x strictement compris entre 0 et 1, on a ln(x) < 0. Par exemple ln(0,5) ≈ -0,693.

Question 43Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers -∞ ?

  1. 1
  2. +∞
  3. -∞
  4. 0 Correct answer.

Explanation

La fonction exponentielle est strictement positive et tend vers 0 quand x tend vers -∞. La droite y = 0 est donc asymptote horizontale à la courbe. On note lim(x→-∞) e^x = 0.

Question 44Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Résoudre dans R l'équation e^x = 5.

  1. x = ln(5)/5
  2. x = e^5
  3. x = ln(5) Correct answer.
  4. x = 5/e

Explanation

La fonction exponentielle est bijective de R vers ]0 ; +∞[, donc e^x = 5 équivaut à x = ln(5). La fonction ln est la réciproque de exp. La solution est unique.

Question 45Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Résoudre dans ]0 ; +∞[ l'équation ln(x) = -2.

  1. x = e^(-2) Correct answer.
  2. x = -2e
  3. x = -ln(2)
  4. x = 1/e^2 · e

Explanation

En appliquant la fonction exponentielle aux deux membres, on obtient x = e^(-2). Cette valeur est bien strictement positive, donc valide dans le domaine. Numériquement, x ≈ 0,135.

Question 46Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la dérivée de f(x) = ln(3x + 1) sur son ensemble de définition ?

  1. 1/(3x + 1)
  2. 1/(3(3x + 1))
  3. 3/(3x + 1) Correct answer.
  4. 3·ln(3x + 1)

Explanation

La dérivée de ln(u) est u'/u. Ici u(x) = 3x + 1, donc u'(x) = 3 et f'(x) = 3/(3x + 1). Le domaine est x > -1/3.

Question 47Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Simplifier e^(ln(7)).

  1. 7 Correct answer.
  2. e^7
  3. ln(7)
  4. 1/7

Explanation

Pour tout réel x strictement positif, e^(ln(x)) = x. Les fonctions exp et ln étant réciproques, leur composition redonne l'argument. Donc e^(ln(7)) = 7.

Question 48Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Étudier le sens de variation de la fonction f(x) = e^(-x) sur R.

  1. f est croissante sur R
  2. f est croissante puis décroissante
  3. f est constante sur R
  4. f est décroissante sur R Correct answer.

Explanation

On a f'(x) = -e^(-x), qui est strictement négatif pour tout réel x car e^(-x) > 0. La fonction f est donc strictement décroissante sur R. C'est cohérent avec le fait que l'exposant -x décroît.

Question 49Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Résoudre dans R l'inéquation e^x > e^3.

  1. x > e^3
  2. x > ln(3)
  3. x > 3 Correct answer.
  4. x < 3

Explanation

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc e^x > e^3 équivaut à x > 3. On peut aussi écrire e^x > e^3 ⟺ ln(e^x) > ln(e^3) ⟺ x > 3. L'ensemble solution est ]3 ; +∞[.

Question 50Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quel est le sens de variation de la fonction g(x) = ln(x) sur ]0 ; +∞[ ?

  1. Décroissante
  2. Croissante puis décroissante
  3. Croissante Correct answer.
  4. Constante

Explanation

La dérivée de ln(x) est 1/x, strictement positive pour tout x > 0. La fonction ln est donc strictement croissante sur son domaine. Elle est la réciproque de la fonction exponentielle croissante.