Analyse : limites, continuité et dérivation
L'épreuve de mathématiques du Bac guinéen consacre une part lourde de l'analyse à l'étude locale et globale d'une fonction : limites, levée d'indéterminations, continuité sur un intervalle, dérivabilité et exploitation du signe de la dérivée. Les problèmes enchaînent souvent ces notions : on demande une limite, puis un prolongement par continuité, puis une étude de variations, puis une discussion du nombre de solutions d'une équation f(x) = k.
Limites et indéterminations
Les limites de référence en 0 et en ±∞ doivent être connues sans hésitation. Face à une forme indéterminée 0/0, ∞/∞, 0×∞ ou ∞−∞, quatre outils suffisent : factoriser par le terme dominant, multiplier par la quantité conjuguée, reconnaître un taux d'accroissement, ou comparer les croissances (un polynôme est négligeable devant l'exponentielle, le logarithme devant toute puissance).
Continuité et TVI
f est continue en a si lim f(x) = f(a) quand x tend vers a. Théorème des valeurs intermédiaires : f continue sur [a;b], k compris entre f(a) et f(b) ⇒ il existe c dans [a;b] avec f(c) = k. Si f est de plus strictement monotone, ce c est unique. Une fonction continue sur un segment y est bornée et atteint ses bornes.
Dérivation
f est dérivable en a si le taux (f(a+h) − f(a))/h admet une limite finie, égale à f'(a). Dérivable entraîne continue, mais la réciproque est fausse : x ↦ |x| est continue et non dérivable en 0. Le signe de f' donne les variations. Théorème de Rolle : f continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[, f(a) = f(b) ⇒ il existe c dans ]a;b[ tel que f'(c) = 0. Égalité des accroissements finis : il existe c avec f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
Exemple. Calculer lim quand x tend vers 1 de (√(x+3) − 2)/(x − 1). C'est une forme 0/0. On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué √(x+3) + 2 : le numérateur devient (x + 3) − 4 = x − 1, le quotient se simplifie en 1/(√(x+3) + 2), et la limite vaut 1/4. On pouvait aussi reconnaître le taux d'accroissement de √x en 4.
Pièges qui coûtent des points
- Écrire « f est continue donc dérivable » : faux, et très sanctionné.
- Utiliser le TVI sans vérifier la continuité sur le fermé, ni justifier la stricte monotonie pour l'unicité.
- Conclure à un extremum dès que f'(c) = 0 : x³ en 0 le contredit.
- Oublier de déterminer le domaine de définition avant tout calcul de limite.