Arithmétique et dénombrement
Ce domaine associe l'arithmétique de Terminale (divisibilité, PGCD, congruences, nombres premiers) et le dénombrement (arrangements, combinaisons, binôme de Newton). Les questions sont courtes mais exigent une rédaction précise : en arithmétique, un « donc » non justifié fait perdre la question entière, même si le résultat est exact.
Divisibilité et PGCD
a divise b s'il existe un entier k tel que b = ka. Division euclidienne : b = aq + r avec 0 ≤ r < a. Algorithme d'Euclide pour le PGCD : PGCD(a;b) = PGCD(b;r), jusqu'à obtenir un reste nul. Théorème de Bézout : PGCD(a;b) = 1 si et seulement s'il existe des entiers u, v tels que au + bv = 1. Lemme de Gauss : si a divise bc et si PGCD(a;b) = 1, alors a divise c. La décomposition en facteurs premiers donne à la fois le PGCD (facteurs communs, plus petits exposants) et le PPCM.
Congruences
a ≡ b [n] si n divise a − b. Les congruences s'additionnent, se multiplient et s'élèvent à une puissance : si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors a + c ≡ b + d [n], ac ≡ bd [n] et a^k ≡ b^k [n]. On en déduit les restes des grandes puissances en repérant le cycle des restes de a^k modulo n. Attention à la division : on ne simplifie par c que si PGCD(c;n) = 1.
Dénombrement
Avec ordre et sans répétition : arrangements A(n,p) = n!/(n−p)!. Avec répétition : n^p. Sans ordre et sans répétition : combinaisons C(n,p) = n!/(p!(n−p)!). Propriétés : C(n,p) = C(n,n−p) et C(n,p) = C(n−1,p) + C(n−1,p−1). Formule du binôme : (a + b)^n = Σ C(n,k)a^k b^{n−k}. Un tirage simultané se compte par une combinaison ; un tirage successif avec ordre, par un arrangement.
Exemple. Un comité de 4 personnes est choisi parmi 8 garçons et 6 filles. Nombre total de comités : C(14,4) = 1001. Comités sans aucune fille : C(8,4) = 70. Comités comportant au moins une fille : 1001 − 70 = 931.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre arrangement et combinaison : l'ordre change tout le calcul.
- Compter un par un les cas interdits au lieu de les retirer du total.
- Simplifier une congruence par un diviseur non premier avec le module.
- Invoquer Bézout sans avoir vérifié que le PGCD vaut 1.