Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes
Le chapitre des fonctions exponentielles et logarithmes est un incontournable du Bac guinéen : propriétés algébriques, limites et croissances comparées, dérivation, et surtout résolution d'équations et d'inéquations où le domaine de validité décide de la réponse. Les exercices mélangent fréquemment ln et exp dans une même équation, ou demandent l'étude d'une fonction du type x ↦ x − ln x.
Propriétés algébriques
ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(a^n) = n ln a, ln(1/a) = −ln a, ln(√a) = ½ ln a. Pour l'exponentielle : e^{a+b} = e^a·e^b, e^{a−b} = e^a/e^b, (e^a)^n = e^{na}. Les deux fonctions sont réciproques : ln(e^x) = x pour tout réel x, et e^{ln x} = x seulement pour x > 0. Repères : ln 1 = 0, ln e = 1, e^0 = 1.
Limites et croissances comparées
lim en +∞ de ln x vaut +∞, lim en 0+ de ln x vaut −∞, lim en +∞ de e^x vaut +∞, lim en −∞ de e^x vaut 0. Croissances comparées : lim (ln x)/x = 0 en +∞, lim e^x/x^n = +∞, lim x^n·e^{−x} = 0. En 0 : lim ln(1+x)/x = 1 et lim (e^x − 1)/x = 1, deux résultats qui sont en réalité des nombres dérivés.
Dérivation
(ln x)' = 1/x sur ]0;+∞[, (ln u)' = u'/u pour u > 0, (e^x)' = e^x, (e^u)' = u'e^u. Ces formules donnent les variations : ln et exp sont strictement croissantes sur leur domaine. Les courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x, et celle de ln reste au-dessous de celle de exp.
Exemple. Résoudre ln x + ln(x − 3) = ln 4. Conditions d'existence : x > 0 et x − 3 > 0, donc x > 3. On regroupe : ln(x(x−3)) = ln 4, puis x² − 3x = 4, soit x² − 3x − 4 = 0. Δ = 9 + 16 = 25, racines x = 4 et x = −1. La condition x > 3 élimine −1 : S = {4}.
Pièges qui coûtent des points
- Écrire ln(a+b) = ln a + ln b : aucune formule n'existe pour une somme.
- Oublier les conditions d'existence : une solution parasite non signalée fait perdre la question.
- Confondre ln(e^x) = x, toujours vrai, et e^{ln x} = x, valable seulement si x > 0.
- Inverser le sens d'une inéquation : ln x < a équivaut à 0 < x < e^a, car ln est croissante.