Calcul intégral et primitives
Le calcul intégral est évalué au Bac guinéen à travers le calcul de primitives, le calcul d'intégrales définies, l'intégration par parties et les applications géométriques (aires, valeur moyenne). La compétence attendue est double : reconnaître une forme dérivée connue et justifier proprement les bornes, le signe et la constante d'intégration.
Primitives usuelles
Sur un intervalle où elle est continue, toute fonction admet des primitives, et deux d'entre elles diffèrent d'une constante. À connaître : x^n (n ≠ −1) donne x^{n+1}/(n+1) ; 1/x donne ln|x| ; e^x donne e^x ; u'u^n donne u^{n+1}/(n+1) ; u'/u donne ln|u| ; u'e^u donne e^u ; sin donne −cos ; cos donne sin. Le facteur constant manquant se compense en divisant : une primitive de e^{3x} est e^{3x}/3.
Intégrale et théorème fondamental
Si F est une primitive de f sur [a;b], alors l'intégrale de a à b de f vaut F(b) − F(a). Propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité si f ≥ 0, intégrale nulle sur un intervalle réduit à un point. La valeur moyenne de f sur [a;b] vaut (1/(b−a)) fois l'intégrale de f sur [a;b].
Techniques
Intégration par parties : ∫ u'v = [uv] − ∫ uv'. On la choisit quand un produit mêle polynôme et exponentielle, ou pour ln x seul (poser v = ln x et u' = 1). Changement de variable : poser x = φ(t), dx = φ'(t)dt, et transformer les bornes en même temps que la variable. Sur un intervalle symétrique, exploiter la parité avant tout calcul.
Exemple. Calculer I = ∫ de 1 à e de ln x dx. Posons u'(x) = 1 et v(x) = ln x, d'où u(x) = x et v'(x) = 1/x. Alors I = [x ln x] de 1 à e moins ∫ de 1 à e de x·(1/x)dx = (e − 0) − (e − 1) = 1.
Pièges qui coûtent des points
- Oublier le « + C » dans une primitive et le perdre dans la question suivante.
- Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable, ou omettre le dx.
- Écrire ∫ (1/x) = ln x sans valeur absolue sur un intervalle contenant des réels négatifs.
- Calculer une aire sans contrôler le signe : une intégrale négative donne une aire en valeur absolue.