Suites numériques
Les suites occupent une place importante dans l'épreuve : suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence, étude de monotonie et de convergence, et suites définies par u_{n+1} = f(u_n). Les questions sont très guidées, mais chaque étape doit être justifiée, notamment l'existence de la limite avant son calcul.
Suites de référence
Arithmétique : u_n = u_0 + nr, et la somme des n+1 premiers termes vaut (n+1)(u_0 + u_n)/2. Géométrique : u_n = u_0 q^n, somme égale à u_0(1 − q^{n+1})/(1 − q) pour q ≠ 1. Convergence : q^n tend vers 0 si |q| < 1, vers 1 si q = 1, diverge si q > 1 ou q ≤ −1. À retenir aussi : 1/n tend vers 0, √n vers +∞, 1/√n vers 0.
Raisonnement par récurrence
Toute démonstration comporte trois temps : initialisation au rang de départ, hérédité (on suppose la propriété vraie au rang n et on la prouve au rang n+1), conclusion. On l'utilise typiquement pour établir une minoration, une majoration ou une formule explicite. Une hérédité qui réutilise la propriété au rang n+1 sans la démontrer est fausse.
Convergence
Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. Théorème des gendarmes : si v_n ≤ u_n ≤ w_n et si v_n et w_n tendent vers ℓ, alors u_n tend vers ℓ. Si u_{n+1} = f(u_n) avec f continue et si u_n converge vers ℓ, alors ℓ = f(ℓ) : on cherche le point fixe, mais seulement après avoir justifié la convergence. Pour la prouver sans connaître la limite, on introduit une suite auxiliaire géométrique v_n = u_n − ℓ.
Exemple. u_0 = 5 et u_{n+1} = (1/3)u_n + 2. Le point fixe vérifie ℓ = (1/3)ℓ + 2, donc ℓ = 3. On pose v_n = u_n − 3 : alors v_{n+1} = (1/3)u_n − 1 = (1/3)(u_n − 3) = (1/3)v_n. Donc v_n = 2(1/3)^n et u_n = 3 + 2(1/3)^n. La suite est décroissante, minorée par 3, et converge vers 3.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre les formules arithmétique et géométrique, ou appliquer la somme géométrique avec q = 1.
- Sauter l'initialisation d'une récurrence.
- Affirmer qu'une suite croissante converge sans exhiber le majorant.
- Calculer la limite par ℓ = f(ℓ) avant d'avoir prouvé qu'elle existe.