Nombres complexes
Les nombres complexes figurent à chaque session : forme algébrique, conjugué, module et argument, forme trigonométrique et exponentielle, équations du second degré à coefficients réels, et interprétation géométrique dans le plan muni d'un repère orthonormé. La difficulté vient moins du calcul que de la rigueur sur les arguments et les modules.
Forme algébrique et opérations
z = a + ib avec a = Re(z), b = Im(z) et i² = −1. Conjugué : z̄ = a − ib ; z·z̄ = a² + b² = |z|². Module : |z| = √(a² + b²) ; |zz'| = |z||z'| ; |z/z'| = |z|/|z'|. Pour rendre un quotient réel, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Forme trigonométrique et exponentielle
Si z ≠ 0, z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ} avec r = |z| et θ = arg(z), défini modulo 2π. Produit : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent ; quotient : modules divisés, arguments soustraits. Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ. Les racines n-ièmes de r e^{iθ} sont r^{1/n} e^{i(θ + 2kπ)/n} pour k = 0, …, n−1.
Équations et lecture géométrique
Pour az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels et Δ = b² − 4ac < 0, les solutions sont conjuguées : z = (−b ± i√(−Δ))/(2a). Somme des racines −b/a, produit c/a. Géométriquement, |z − z_A| est la distance AM ; |z − z_A| = r décrit le cercle de centre A et de rayon r ; un argument de (z − z_A)/(z − z_B) mesure l'angle orienté entre les vecteurs.
Exemple. Résoudre z² − 2z + 5 = 0. Δ = 4 − 20 = −16 = (4i)². Les solutions sont z = (2 ± 4i)/2, soit z₁ = 1 + 2i et z₂ = 1 − 2i. Vérification : la somme vaut 2 = −b/a et le produit vaut 1 + 4 = 5 = c/a.
Pièges qui coûtent des points
- Écrire i² = 1 ou se tromper de signe en développant (a + ib)(c + id).
- Donner un argument sans préciser « modulo 2π » ni contrôler le quadrant.
- Oublier que deux complexes sont égaux si et seulement si parties réelles et imaginaires sont égales.
- Confondre z² et |z|² : |z²| = |z|², mais z² ≠ |z|².