Algèbre : équations, inéquations et systèmes
Ce domaine couvre la résolution d'équations et d'inéquations (premier et second degré, irrationnelles, avec valeur absolue) et les systèmes linéaires, y compris la discussion en fonction d'un paramètre. C'est là que se perdent le plus de points par manque de rigueur sur le domaine de définition et sur les tableaux de signes.
Second degré
Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, deux racines (−b ± √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, racine double −b/(2a) ; si Δ < 0, aucune racine réelle. Factorisation : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Signe : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre elles ; pour Δ ≤ 0, il garde le signe de a, en s'annulant à la racine double.
Équations et inéquations
Commencer par le domaine de définition. Pour une équation irrationnelle du type √(x+1) = x − 1, on impose x − 1 ≥ 0, on élève au carré, puis on vérifie chaque solution dans l'équation de départ. Pour une inéquation, on transperce tout dans un membre, on factorise, puis on dresse un tableau de signes avec les valeurs interdites. Valeur absolue : |x − a| < r équivaut à a − r < x < a + r.
Systèmes linéaires
Deux méthodes sûres : substitution et combinaisons linéaires. Pour un système 2×2 de déterminant D = ad − bc, le système est de Cramer si D ≠ 0, donc à solution unique ; si D = 0, il a soit aucune solution, soit une infinité, ce que l'on décide en comparant les équations. Dès qu'un paramètre m apparaît, on discute séparément les valeurs qui annulent le déterminant.
Exemple. Discuter le système { mx + y = 1 ; x + my = 1 }. Le déterminant vaut D = m² − 1 = (m−1)(m+1). Si m ≠ ±1, la solution est unique : par soustraction, (m−1)(x − y) = 0, puis x = y = 1/(m+1). Si m = 1, les deux équations coïncident en x + y = 1 : une infinité de solutions. Si m = −1, on obtient −x + y = 1 et x − y = 1, incompatibles : aucune solution.
Pièges qui coûtent des points
- Élever au carré sans vérifier les solutions dans l'équation initiale.
- Diviser par une expression contenant le paramètre sans traiter le cas où elle s'annule.
- Inverser le signe du trinôme entre les racines.
- Omettre les valeurs interdites dans le tableau de signes.