Géométrie plane : vecteurs, droites et transformations
La géométrie plane est évaluée via le calcul vectoriel (colinéarité, produit scalaire, équations de droites, distances) et les transformations (translations, rotations, homothéties, symétries), souvent reliées aux nombres complexes. Les exercices de ce domaine sont très calculatoires et la principale cause d'erreur est la confusion entre les objets direction et normale.
Vecteurs et droites
Colinéarité de u(x;y) et v(x';y') : xy' − x'y = 0. Produit scalaire : u·v = xx' + yy' = |u||v|cos θ, et orthogonalité si et seulement si u·v = 0. La droite passant par A de vecteur normal n(a;b) a pour équation a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0, soit ax + by + c = 0. Deux droites sont parallèles si leurs coefficients (a;b) sont proportionnels, perpendiculaires si aa' + bb' = 0. Distance de M₀ à la droite : |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).
Transformations
Une translation de vecteur t associe à M le point M' tel que le vecteur MM' égale t ; elle conserve distances, angles, alignement et aires. Une homothétie de centre Ω et de rapport k ≠ 0 transforme M en M' avec ΩM' = k·ΩM ; elle multiplie les longueurs par |k| et les aires par k², et conserve l'alignement. Une rotation de centre Ω et d'angle θ conserve distances et angles. L'écriture complexe clarifie les compositions : z' = z + b pour une translation, z' = e^{iθ}(z − ω) + ω pour une rotation, z' = k(z − ω) + ω pour une homothétie.
Exemple. Soit la droite (d) : 3x + 4y − 5 = 0 et le point A(1;2). Le vecteur normal à (d) est n(3;4). La perpendiculaire à (d) passant par A admet n comme vecteur directeur : son équation est 4(x − 1) − 3(y − 2) = 0, soit 4x − 3y + 2 = 0, obtenue en échangeant les coefficients et en changeant un signe.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre vecteur directeur et vecteur normal d'une droite.
- Oublier la valeur absolue dans la formule de distance.
- Faire tourner autour de l'origine alors que le centre est un autre point.
- Utiliser k² pour les longueurs d'une homothétie : c'est |k| pour les longueurs et k² pour les aires.