Géométrie de l'espace
La géométrie de l'espace est testée par le repérage, les équations de droites et de plans, les positions relatives et les distances. Les calculs ressemblent à ceux du plan, mais la troisième coordonnée interdit de s'appuyer sur un dessin : il faut vérifier chaque système et chaque appartenance par le calcul.
Repérage et vecteurs
Le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A). Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si et seulement si le déterminant de leurs coordonnées est nul. Produit scalaire : u·v = xx' + yy' + zz', avec orthogonalité si u·v = 0. Le produit vectoriel u ∧ v est normal à u et à v, et sa norme |u||v|sin θ égale l'aire du parallélogramme construit sur u et v.
Droites et plans
Droite passant par A de vecteur directeur u : M = A + t·u, soit x = x_A + ta, y = y_A + tb, z = z_A + tc. Plan de vecteur normal n(a;b;c) : ax + by + cz + d = 0, la constante d se déterminant en écrivant qu'un point connu du plan vérifie l'équation. Une droite et un plan se coupent en un point si u·n ≠ 0 ; sinon la droite est parallèle au plan, incluse ou strictement parallèle. Deux plans sont parallèles si leurs normaux sont colinéaires, confondus si en plus les coefficients sont proportionnels.
Distances et volumes
Distance de M₀ au plan ax + by + cz + d = 0 : |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²). Volume du tétraèdre ABCD : (1/6)|det(AB, AC, AD)|. Sphère de centre Ω et de rayon R : (x − x_Ω)² + (y − y_Ω)² + (z − z_Ω)² = R².
Exemple. Plan passant par A(1;0;0), B(0;1;0) et C(0;0;1). On cherche ax + by + cz + d = 0 : les trois points donnent a + d = 0, b + d = 0, c + d = 0, donc a = b = c = −d. En prenant d = −1, on obtient x + y + z = 1. La distance de l'origine à ce plan vaut |−1|/√3 = √3/3.
Pièges qui coûtent des points
- Oublier de vérifier qu'un point trouvé appartient bien aux deux objets.
- Confondre vecteur normal du plan et vecteur directeur de la droite.
- Calculer un déterminant 3×3 en se trompant sur le signe du deuxième terme.
- Écrire une équation de plan sans la constante d, ou l'oublier dans la formule de distance.