Probabilités et statistiques
Les probabilités et la statistique représentent une part significative de l'épreuve : calcul de probabilités sur un univers fini, conditionnement et indépendance, variable aléatoire avec espérance et variance, loi binomiale, et statistiques descriptives à une ou deux variables. La rédaction doit nommer la formule utilisée et les hypothèses qui la rendent valide.
Probabilités sur un univers fini
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), et P(Ā) = 1 − P(A). En situation d'équiprobabilité, P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Probabilité conditionnelle : P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A) si P(A) ≠ 0. A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A)P(B), ce qui équivaut, lorsque P(A) ≠ 0, à P_A(B) = P(B). L'arbre pondéré traduit la formule des probabilités totales : P(B) = Σ P(A_i)·P_{A_i}(B) sur une partition de l'univers.
Variable aléatoire
L'espérance E(X) = Σ x_i·P(X = x_i) est une moyenne pondérée ; la variance V(X) = Σ x_i²·P(X = x_i) − (E(X))², et l'écart-type σ(X) = √V(X). Si X suit la loi binomiale B(n;p) : P(X = k) = C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}, E(X) = np, V(X) = np(1−p). L'événement « au moins un succès » se traite par le complémentaire : 1 − (1−p)^n.
Statistiques
Moyenne, médiane et écart-type décrivent une série ; la médiane résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne non. Pour une série à deux variables, on calcule les moyennes, puis la covariance et les écarts-types pour obtenir le coefficient de corrélation linéaire r. La droite des moindres carrés a pour coefficient directeur Cov(x,y)/V(x) et passe par le point moyen.
Exemple. On répète 5 fois, de façon indépendante, une expérience dont la probabilité de succès est 0,2. Soit X le nombre de succès : X suit B(5 ; 0,2). P(X = 2) = C(5,2)(0,2)²(0,8)³ = 10 × 0,04 × 0,512 = 0,2048. P(X ≥ 1) = 1 − 0,8⁵ = 0,67232. E(X) = 1 et V(X) = 0,8.
Pièges qui coûtent des points
- Utiliser P(A ∩ B) = P(A)P(B) sans avoir justifié l'indépendance.
- Confondre P_A(B) et P_B(A).
- Oublier le coefficient C(n,k) dans la loi binomiale.
- Calculer un écart-type sans passer par la variance, ou oublier de diviser par l'effectif.