Četiri obavijesti o izložbi i logički odnosi
Na oglasnoj ploči knjižnice četiri su obavijesti o otvaranju izložbe. Neka P znači 'izložba je otvorena u petak', a Q 'kustos je prisutan'. Prva obavijest glasi: 'Izložba je otvorena u petak i kustos je prisutan.' Druga: 'Ako je izložba otvorena u petak, kustos nije prisutan.' Treća: 'Ili je izložba otvorena u petak ili kustos nije prisutan, ali ne oboje.' Četvrta: 'Nije slučaj da je izložba otvorena u petak, a kustos prisutan.' Učenici trebaju provjeriti koje obavijesti mogu biti istodobno istinite. Ravnatelj je zabrinut jer su prva i četvrta postavljene jedna uz drugu, a druga i treća tvrde različite stvari. Natječaj za poster zatvara se u 16 sati, a povjerenstvo odlučuje na temelju logičke konzistentnosti. U raspravi se pojavljuje i tvrdnja da su prve dvije nužno proturječne.
1. Formalizirajte sve četiri obavijesti pomoću P i Q.
Read the worked answer
- Prva: A = P ∧ Q
- Druga: B = P → ¬Q
- Treća: C = P ⊕ ¬Q, tj. (P ∨ ¬Q) ∧ ¬(P ∧ ¬Q)
- Četvrta: D = ¬(P ∧ Q)
Oznaka ⊕ znači isključivi ili: barem jedna strana istinita, ali ne obje.
2. Kakav je odnos prve i četvrte obavijesti, a kakav druge i četvrte?
Read the worked answer
Četvrta je upravo negacija prve: D = ¬(P ∧ Q) = ¬A. Zato su prva i četvrta proturječne - ne mogu biti istinite zajedno, a jedna je istinita kad je druga lažna.
Druga je ekvivalentna četvrtoj: P → ¬Q = ¬P ∨ ¬Q = ¬(P ∧ Q) = D. Zato B i D uvijek imaju istu istinitosnu vrijednost. To je važno jer se iz površnog čitanja može učiniti da četvrta samo 'ponavlja' prvu, dok zapravo poriče prvu.
3. Mogu li sve četiri obavijesti biti istodobno istinite? Potkrijepite odgovor provjerom po mogućim vrijednostima.
Read the worked answer
Ne mogu. Već su A i D proturječne. Provjera po redovima:
| P | Q | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | F |
| T | F | F | T | F | T |
| F | T | F | T | F | T |
| F | F | F | T | T | T |
Nijedan red nema sve četiri istinite. Najviše tri mogu biti istinite, i to u zadnjem redu. Prva i četvrta nikad nisu zajedno istinite.